剖析平面向量求解中的八種錯(cuò)誤

■江蘇省高港中等專業(yè)學(xué)校 李 霖

平面向量融數(shù)、形于一體,具有幾何與代數(shù)的“雙重身份”,它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實(shí)際背景,它包括向量的概念和運(yùn)算。本文匯集了同學(xué)們在求解向量問題中的種種錯(cuò)誤,展示剖析其原因,攻克易錯(cuò)點(diǎn),給出提醒,希望對同學(xué)們的復(fù)習(xí)能有所幫助。

錯(cuò)誤1——忽視向量概念中的特殊情況

四個(gè)命題:(1)0·a=0;(2)0·a=0;(3)0-;(4)a·b =a ·b。其中正確的個(gè)數(shù)為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

錯(cuò)解:全都正確,選D。

剖析:(1)根據(jù)向量數(shù)量積的概念,0·a應(yīng)是一個(gè)實(shí)數(shù)0,而非一個(gè)向量,正確;(2)根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的定義,0·a應(yīng)是一個(gè)向量,而非一個(gè)實(shí)數(shù),錯(cuò)誤;(3)由向量的減法運(yùn)算和共線的意義,正確;(4)根據(jù)數(shù)量積的定義a·b =a ·b cosθ,原式只有當(dāng)θ=0或π時(shí)成立,錯(cuò)誤。由以上分析可知,正確答案為B。

提醒:向量的有關(guān)概念的判斷中一定要注意定義的本質(zhì)屬性,區(qū)分特殊的情況和一般成立的關(guān)系,注意零向量和實(shí)數(shù)零的區(qū)別。

變式1 以下命題正確的是( )。

Aa.∥b,b∥c?a∥c

B.若a與b互為相反向量,則a+b=0

C.平面向量a,b平行的充要條件是存在不全為0的實(shí)數(shù)λ1,λ2,使得λ1a+λ2b=0

D.若a與b互為相反向量,則a≠b

解析:當(dāng)b=0時(shí),A中結(jié)論錯(cuò)誤;互為相反向量的和為零向量0而不是實(shí)數(shù)0,B中結(jié)論錯(cuò)誤;當(dāng)a=0時(shí),其相反向量也是0,此時(shí)a=b,D中結(jié)論錯(cuò)誤;只有C正確。

錯(cuò)誤2——忽視平面向量基本定理的成立條件

下列各組向量中,可以作為基底的是( )。

A.a=(0,0),b=(1,-2)

B.a=(-1,2),b=(5,7)

C.a=(3,5),b=(6,10)

D.a=(2,-3),b=(4,-6)

錯(cuò)解:選A或C或D。

剖析:根據(jù)基底的定義,只有非零且不共線的向量才可以作為平面內(nèi)的基底。一一驗(yàn)證非零不共線的向量只有B。

提醒:如果a、b是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對該平面內(nèi)的任一向量c,有且只有一對實(shí)數(shù)λ1,λ2,使c=λ1a+λ2b。解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決。

錯(cuò)誤3——弄錯(cuò)一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的正投影

錯(cuò)誤4——忽視向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘法的區(qū)別

已知a、b都是非零向量,且向量a+3b與7a-5b垂直,向量a-4b與7a-2b垂直,求向量a與b的夾角。

錯(cuò)解:由題意可得:

兩式相減得46a·b-23b2=0,即b(2a-b)=0,所以b=0(不合題意舍去)或2ab=0,由2a-b=0知a與b同向,故向量a與b的夾角為0°。

剖析:本題誤用實(shí)數(shù)的性質(zhì),即實(shí)數(shù)a、b若滿足ab=0則必有a=0或b=0,但對于向量a、b若滿足a·b=0,則不一定有a=0或b=0,因?yàn)橛蒩·b=|a|·|b|cosθ知與θ有關(guān),當(dāng)θ=90°時(shí),a·b=0恒成立,此時(shí)a、b均可以不為0。

由錯(cuò)解知b2=2a·b,代入7a2+16a·b-15b2=0,得a2=2a·b,所以a2=b2=

提醒:數(shù)量積的運(yùn)算不滿足結(jié)合律也不滿足消去律,平面向量投影問題的易錯(cuò)點(diǎn)是:①忽視“哪個(gè)向量”在“另一個(gè)向量”上的投影;② 要注意投影是一個(gè)數(shù)量,不是向量,其值可正,可負(fù),可為0。

變式4 已知命題:(1)(a ·b)·c=a·(b ·c);(2)a+b ≤a +b ;(3)(a -b)·c=a·c-b·c;(4)如果a·b=a·c,且a=0,那么b,c在a方向上的投影相等。其中正確的個(gè)數(shù)是( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:(1)數(shù)量積的運(yùn)算不滿足結(jié)合律,不能與實(shí)數(shù)運(yùn)算混淆,錯(cuò)誤。(2)由向量幾何運(yùn)算的意義及平行四邊形法則可知正確。(3)結(jié)合向量的運(yùn)算法則可知正確。(4)a·b=a·c,說明b,c在a方向上的投影相等,正確。

錯(cuò)誤5——忽略共線向量或三點(diǎn)共線的條件

已知同一平面上的向量a、b、c兩兩所成的角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c的長度。

錯(cuò)解:易知a、b、c皆為非零向量,設(shè)a、b、c所成的角均為θ,則3θ=360°,即θ=120°,所以a·b=|a|·|b|cos120°=-1,同理b·c=-3,c·a=-,由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3,得|a+b+c|=3。

剖析:錯(cuò)解以為a、b、c皆為非共線向量,而當(dāng)向量a、b、c共線且同向時(shí),所成的角也相等均為0°,符合題意。(1)當(dāng)向量a、b、c共線且同向時(shí),所成的角均為0°,所以|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6;(2)當(dāng)向量a、b、c不共線時(shí),同錯(cuò)解。

綜上所述,向量的長度為6或3。

變式5 如圖1,在△ABC中,AD=DB,AE=EC,CD與BE交于點(diǎn)F,設(shè)=xa+yb,則(x,y)為( )。

圖1

錯(cuò)誤6——忽略向量的幾何意義與三角形“內(nèi)心”之間的關(guān)系

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

錯(cuò)解:選A、C或D。

變式6 已知△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對邊的長依次為a,b,c,M為該三角形所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若a0,則M是△ABC的( )。

圖2

A.內(nèi)心 B.重心 C.垂心 D.外心平分線。同理可證AM、BM的延長線也是角平分線。故M是△ABC的內(nèi)心。

錯(cuò)誤7——忽略向量的幾何意義與三角形“垂心”之間的關(guān)系

已知O是平面上的一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足λ∈[0,+∞),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的( )。

A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心

錯(cuò)解:選A、C或D。

錯(cuò)誤8——忽略向量的幾何意義與三角形“重心”之間的關(guān)系

A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心

錯(cuò)解:選B、C或D。