歸納三角函數、平面向量、數列、不等式中創新題的解法

■山東省肥城市泰西中學 梁乾旭

編者的話:“創新題追根溯源”欄目里的例、習題都非常新穎,有的是原創題,有的是改編題,每一道題都非常注重多解多變。當然,在注重數學閱讀的高考大背景下,同學們還要把握核心考點,擴大知識視野,用扎實的基本功應對數學試題的萬千變化。

數學中的創新題型的特點是:通過給出一個新概念,或約定一種新運算,或給出幾個新模型來創設全新的問題情景,要求同學們在閱讀理解的基礎上,依據題目提供的信息,聯系所學的知識和方法,實現信息的遷移,達到靈活解題的目的。

一個函數f(x),如果對任意一個三角形,只要它的三邊長a、b、c都在f(x)的定義域內,就有f(a),f(b),f(c)也是某個三角形的三邊長,則稱f(x)為“三角保型函數”,給出下列函數:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=2x;④f(x)=lgx。其中是“三角保型函數”的是( )。

A.①② B.①③

C.②③④ D.③④

解析:任給三角形,設它的三邊長分別為a、b、c,則a+b＞c,不妨假設a≤c,b≤c,對于①,f(x)=x,由于 a+b＞ a+b＞c＞0,因此函數f(x)=x是“三角保型函數”。

對于②,f(x)=x2,3,3,5可以作為一個三角形的三邊長,但32+32＜52,不存在三角形以32,32,52為三邊長,故f(x)=x2不是“三角保型函數”。

對于③,f(x)=2x,由于f(a)+f(b)=2(a+b)＞2c=f(c),所以f(x)=2x是“三角保型函數”。

對于④,f(x)=lgx,1,2,2可以作為一個三角形的三邊長,但lg1=0不能作為三角形的邊長,故f(x)=lgx不是“三角保型函數”。故選B。

點評:本題以“三角保型函數”為背景考查冪函數、一次函數、對數函數的性質。可通過新定義,把問題轉化為已學過的知識求解。

設A1,A2,A3,A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點,若(λ∈R)(μ∈R),且2,則稱A3,A4調和分割A1,A2。已知點C(c,0),D(d,0)(c,d∈R)調和分割點A(0,0),B(1,0),則下面說法正確的是( )。

A.C可能是線段AB的中點

B.D可能是線段AB的中點

C.C,D可能同時在線段AB上

D.C,D不可能同時在線段AB的延長線上

解析:根據已知得(c,0)-(0,0)=λ[(1,0)-(0,0)],即(c,0)=λ(1,0),解得c=λ。

由(d,0)-(0,0)=μ[(1,0)-(0,0)],解得(d,0)=μ(1,0),解得d=μ。

點評:本題通過新定義的“調和分割”考查共線向量、平面向量的坐標運算、不等式的性質,考查分類討論思想。

(1)若數列{an}為等差數列,Sn是其前n項和,a3=4,S3=18,求Sn;

(2)判斷(1)中的數列{Sn}是否為“特界”數列,并說明理由。

解析:(1)設等差數列{an}的公差為d,則a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,所以Sn=na1+

(2){Sn}是“特界”數列,理由如下:

綜上,數列{Sn}是“特界”數列。

點評:本題以“特界”數列為背景考查等差數列的性質、求和公式、二次函數的性質。求Sn的最值時應注意n∈N*。

(2017年福建省福州文博中學模擬)《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題:“今有垣厚若干尺,兩鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半。問:何日相逢,各穿幾何?”題意是:有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻。大老鼠第一天進一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也進一尺,以后每天減半。如果墻足夠厚,Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和,則S5=( )。

點評:本題以《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”為背景考查等比數列的性質、求和公式。考查了數學文化。