二面角相關問題的解法

■安徽省安慶市第二中學高二(4)班 鮑 蓉

求解二面角是立體幾何中最基本、最重要的題型之一,也是高考中的“熱點”問題。那么如何求二面角呢?學習之余,總結了幾點方法,望與大家相互學習借鑒。

此法是最典型也是最常用的方法,是基于對二面角的平面角定義理解后的熟練運用。

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是4,E是BC的中點,動點F在側棱CC1上,且不與點C重合。設二面角CAF-E的大小為θ,求tanθ的最小值。

解析:如圖1,過E作EN⊥AC于點N,過N作MN⊥AF于點M,連接ME。易知EN⊥側面A1C,根據三垂線定理得EM⊥AF,所以∠EMN是二面角C-AF-E的平面角,即∠EMN=θ。設∠FAC=α,則0°＜a≤45°,在Rt△CNE中,NE=EC·sin60°=3。在Rt△AMN中,

圖1

評注:三垂線法的關鍵是在“變形”和“變位”中能迅速作出所求二面角的平面角,再在該角所在的三角形中求解。

在二面角的兩個面內分別作棱的垂線,兩條垂線所夾的角即為二面角的平面角。

如圖2,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°。

(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;

圖2

(2)若PA=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值。

解析:(1)略。

(2)因為AB=AP=1,∠BAP=90°,所以△ABP為等腰直角三角形。因為ABCD,所以四邊形ABCD為平行四邊形。設AB=2,則AB=DC=PA=PD=2。在△PAD中,∠APD=90°,所以AD=22。同理PB=PC=22。所以PB=AD=BC=PC=22,所以△BPC為等邊三角形。過A作AE⊥PB于點E,過C作CF⊥PB于點F。因為△ABP為等腰直角三角形,△BPC為等邊三角形,所以E為BP中點,F為PB的中點,所以E、F重合。所以∠AEC即為A-PB-C的二面角。連接AC,由(1)得∠ADC=90°,所以AC=23,所以AE=2,CE=6。所以cos∠AEC=

評注:要注意用二面角的平面角定義的三個“主要特征”來找出平面角。

將“無棱”向“有棱”轉化,關鍵是正確地找出二面角的棱,步驟:①找出兩個平面內的平行線;②由交點向兩平行線作垂線。

圖3

如圖3,已知正四棱錐A-BCDE,求α與β兩面的夾角。

解析:過點A作直線l∥ED∥BC,即所找的棱。由圖形為正四棱錐,知α,β均為正三角形。分別過A作AF⊥DE于點F,作AG⊥BC于點G,所以∠GAF為所求,所以cos∠GAF=。

評注:在已知幾何體中,沒有給出二面角的棱而求二面角的平面角的某一種三角函數值,求解的基本策略是“轉化”,轉化的策略通常有平移平面、延展平面等。