三角函數性質的研究與拓展

■黑龍江省大慶市第一中學高二(13)班 秦嵩博

三角函數是描述周期現象的重要數學模型,在數學和其他領域中具有重要的作用。初學三角函數時,會感覺比較簡單,只要公式背會了就可以了,隨著學習的深入,變化越來越多,越來越復雜,題目給的條件少了不知道怎么辦,題目給的條件多了又不知道如何下手。經過總結,我們可以發現要想順利求解此類問題,需要善于創設豐富的情境,把單純的三角函數轉化為便于理解的模型,下面就以一道教材中的習題為例,由淺入深進行研究,希望對同學們有所啟發。

一、原題

如圖1,點P是半徑為r的砂輪邊緣上的一個質點,它從初始位置P0開始,按逆時針方向以角速度ω做圓周運動。求點P的縱坐標y關于時間t的函數關系式,并求點P運動的周期和頻率。

二、分析

我們可以將其轉化為下面的數學模型:點P在以坐標原點為圓心,A(A＞0)為半徑的圓上做勻速圓周運動,以ω為角速度,0時刻點P在P0位置上,OP0所在的邊與x軸非負半軸成φ角,求點P的縱坐標y和時間x(x∈R)的關系。

容易得到結論:經過時間x后以OP為終邊的角為ωx+φ,所以y=Asin(ωx+φ)(逆時針旋轉時ω＞0,順時針旋轉時ω＜0),其中ωx+φ稱為相位,φ稱為初相。

這道課本習題反映的思想:三角函數的研究與認識始終以單位圓為重要的研究工具,對其性質進行深入的探究,主動加以應用,才能做到舉一反三,靈活運用。

圖1

三、三角函數的性質探究與圓周運動解釋

1.性質探究。

(3)單調性:①ω＞0時,如圖2,點P按逆時針方向旋轉,所以當程中隨著時間x的增加函數值y也會從-A→0→A逐漸增加,所以由-2π＜ωx+φ＜2π能夠得到該函數的一個單調增區間,因此通過解不等式得到該函數的所有的單調增區間。同理,通∈Z)可以得到該函數的所有的單調減區間。可以得到該函數的所有的單調減區間。同理,通過解不以得到該函數的所有的單調增區間。

圖2

圖3

2.圓周運動的解釋。

在圓周運動過程中函數圖像的變化如下:

y=Asin(ωx+φ)+h(A＞0,ω＞0)圖像的變化:

①y1=sinx→y2=Asinx。

圖像變化:橫坐標不變,縱坐標變為原來的A倍。

圓周運動的解釋:在同樣的時刻,點P2的縱坐標是單位圓上對應的點P1縱坐標的A倍。

②y2=Asinx→y3=Asin(ωx)。

④y4=Asin(ωx+φ)→y5=Asin(ωx+φ)+h。

圖像變化:如果h＞0,則圖像向上平移h個單位;如果h＜0,則向下平移h個單位。

圓周運動的解釋:相對于y4來說,圓周運動的圓心從點(0,0)變為了點(0,h)。

總之,三角函數是刻畫周期變化的一種重要模型,勻速圓周運動是該模型的一個典型代表,只要抓住這個要領,就能以簡取繁,讓整個三角函數的研究從角到函數性質與圖像渾然一體,給人豁然開朗的感受。