探究斐波那契數列提升學生數學素養

■鄭州外國語學校 曹中起

在同學們學習和掌握了數列概念、通項公式的推導之后,老師會提出一些有關數列在生活中的應用問題,有意識地考慮如何在重新回味經典的數學問題中培養數學思維,感悟數學之美,提升數學素養。

公元前13世紀,意大利著名數學家斐波那契發現一個有趣的數列,并寫入《算盤書》中:兔子在出生兩個月后就有繁殖能力,一對兔子每個月能生出一對小兔子來。假設所有兔子都不死,那么一年以后可以繁殖多少對兔子?把每一月的兔子對數列舉出來,你能發現什么規律?

將每月的兔子對數列舉出來如下:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233。觀察規律是該數列從第3項起的每一項都是前兩項的和。

1.12+12=1×2,12+12+22=2×3,12+12+22+32=3×5,…將此數列記作 {Fn},則有F21+F22+…+Fn2=Fn×Fn+1。

2.從幾何的角度理解就是一些正方形面積的疊加,如圖1所示。

圖1

3.用后一項除以前一項發現越來越接近常數1.618,這個數與方程x2-x-1=0的根,于是繼續思考此數列與我們學習的通項公式必然有一定的聯系。

已知數列an{},a1=1,a2=1,當n≥3時,an=an-1+an-2,求通項an。

分析:對于a1=C,a2=D,an+1=Aan+Ban-1(A,B,C,D為常數)的一般情況,如何思考?

解:令an+1-xan=(A-x)(anxan-1),即an+1=Aan-x(A-x)an-1,與an+1=Aan+Ban-1對比,得x2=Ax+B,把x2=Ax+B叫作特征根方程,設其兩個根為

已知數列{an},a1=1,a2=2,an+1=4an-4an-1,求an。

解析:令x2=4x-4,x1=x2=2,設通項

公式為an=(λ1n+λ2)×2n,將a1=1,a2=2

4.斐波那契數列的前n項和。

斐波那契數列應用廣泛,股市中的參數,排兵布陣,建筑設計等,小到原子,大到宇宙,涉及我們生活的諸多方面。感悟數學美,享受數學美,生活中處處離不開數學知識、方法與思想。

跟蹤練習:

多解多變:特征根方程有兩個不同的解,考慮是否可以使用一個解處理呢?例2便是采用的這種方法(略)。

多解多變:可以按照最原始的處理方法,將原式變化,取倒數,化為等差數列,也可以化為等比數列求解。