數列及等差數列誤區警示

■浙江省紹興一中 傅伊嵐

數列及等差數列誤區警示

■浙江省紹興一中 傅伊嵐

數列是一類特殊的函數,一般說來,數列概念、公式都有限制條件或使用前提,特別是等差數列,在解題過程中若忽視了這些限制條件或使用前提,則易導致錯誤。

易錯點一:對數列的概念理解錯誤

已知有窮數列:5,7,9,11,…,2n+7,其中后一項比前一項大2。

(1)寫出此數列的通項公式;

(2)9+4n是否為此數列中的一項?

錯解:(1)觀察可知此數列為等差數列,a1=5,d=2。

所以此數列的通項公式為an=a1+(n-1)d=5+(n-1)·2=2n+3。

(2)因為9+4n=2(2n+3)+3,所以9+4n是此數列中的第2n+3項。

錯解剖析:錯解忽視了“有窮數列”這一條件,從而誤認為9+4n是數列中的項。

正解:(1)此數列共有n+2項,通項公式為ak=2k+3(k=1,2,3,…,n+2)。

(2)此數列為遞增的有窮數列,且末項為2n+7,而9+4n＞2n+7,故9+4n不是此數列中的項。

易錯點二:數列的表示方法錯誤

已知數列{an}滿足條件則數列的通項公式為( )。

錯解:因為2n+5,所以-1)+5。

錯解剖析:在上述解答的第二個式子中,應加上限制條件n≥2,因為當n=1時,此式是不成立的。按照第一個式子,1+5,a1=14,在第二個式子中,令n=1,則有矛盾。限制了n≥2之后所解出的通項公式an=2n+1只適合n≥2的情況,對n=1應單列求解。

正解:(1)當n=1時,由已知可求得a1=14。

(2)當n≥2時,由已知得:

綜合(1)、(2)得通項公式an=故應選B。

易錯點三:對等差數列概念的理解錯誤

設兩個等差數列分別為2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,在它們中間有多少個相同的項?

錯解:數列2,6,10,…,190是首項為2,公差d1=4的等差數列;數列2,8,14,…,200是首項為2,公差d2=6的等差數列。相同項構成首項a1=2,公差d=d1·d2=24的等差數列,其通項公式為an=24n-22,其中n為滿足an≤190的最大整數,24n-22≤190,解得所以n=8,即兩個等差數列中共有8個相同的項。

錯解剖析:上述問題中求兩個數列相同項的關鍵是求由相同項構成的新數列的首項和公差。首項a1是對的,將公差認為d=d1·d2是錯誤的。新數列的公差應該是第一個數列的公差,又是第二個數列的公差,滿足這兩個條件的公差應該是已知數列的公差的最小公倍數d=12,事實上,通過觀察兩個數列的相同項:2,14,26,…,也能發現公差d=12。

正解:數列2,6,10,…,190是首項為2,公差d1=4的等差數列;數列2,8,14,…,200是首項為2,公差d2=6的等差數列。相同項構成首項a1=2,公差為4和6的最小公倍數即d=12的等差數列,其通項公式為an=12n-10,其中n為滿足an≤190的最大整數,12n-10≤190,解得n≤16所以n=16,即兩個等差數列中共有16個相同的項。

易錯點四:對等差數列求和公式的理解錯誤

等差數列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn,若則

錯解:令Sn=2n,Tn=3n+1,則an=Sn-Sn-1=2,bn=Tn-Tn-1=3,

錯解剖析:以偏概全,對等差數列前n項和的結構特征認識模糊d=A·n2+B·n,它是一個關于n的缺少常數項的二次型方程(在特殊情況下,A、B可以為0)。在上述解答中,令Sn=2n,Tn=3n+1是不合理的,由此導致了錯誤的結論。

正解:

易錯點五:分類討論錯誤

已知一個等差數列{an}的通項公式an=25-5n,求數列的前n項和。

錯解:由an≥0得n≤5,故數列{an}的前5項為非負,從第6項起為負。

故Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n≤5)。

當n≥6時,Sn=|a6|+|a7|+|a8|+…

錯解剖析:去掉的絕對值符號,要考慮an的符號,對n不討論或討論不當容易導致錯誤。前面錯誤有二:一是把n≤5理解為n=5;二是把“前n項和”誤認為“從n≥6起”的項的和。

正解:Sn=

(責任編輯 徐利杰)