全國名校《解三角形》專題（A卷）

■鄭州外國語學校 田 景

全國名校《解三角形》專題（A卷）

■鄭州外國語學校 田 景

編者的話:強化對核心考點的演練、注重對經典題型的歸納,是學好數學的秘訣,基于此,本刊編輯部特開設此欄目,希望同學們能認真對待。從本期開始,如果都能保存好,對以后的復習大有裨益。

一、選擇題(本大題共23個小題。)

1.在△ABC中,a=30,b=25,A=150°,則△ABC解的個數為( )。

A.1 B.2

C.無解 D.無法確定

2.在△ABC中,角A,B,C對應的邊分別為a,b,c。若△ABC為銳角三角形,且滿足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是( )。

A.a=2b B.b=2a

C.A=2B D.B=2A

3.在△ABC中,B=60°,最大邊與最小邊之比為(3+1)∶2,則最大角為( )。

A.45° B.60° C.75° D.90°

4.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,則△ABC的形狀為( )。

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.正三角形 D.等腰或直角三角形

5.在△ABC中,若AC·cosA=3BC·cosB,且cosC=,則A等于( )。

A.30° B.45° C.60° D.120°

6.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,則△ABC是( )。

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.無法確定

圖1

7.如圖1,為了測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點。從A點測得M點的仰角∠MAN=60°,C點的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°;從C點測得∠MCA=60°,已知BC=100m,則MN=( )。

A.200m

B.1003m

C.150m

D.1503m

8.在△ABC中,角A,B,C的對應邊分別是a,b,c,若a2-b2=3bc,sinC=23sinB,則A=( )。

A.30° B.60° C.120° D.150°

9.在△ABC中,角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,則以下結論錯誤的是( )。

C.若sinA＞sinB,則A＞B;反之,若A＞B,則sinA＞sinB

D.若sin3A=sin3B,則△ABC是等腰三角形

11.在△ABC中,角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,若a2=3b2+3c2-23bcsinA,則C等于( )。

A.30° B.45°

C.60° D.120°

12.在△ABC中,三條邊a,b,c成等差數列,則邊b對應的角B的最大值為( )。

A.30° B.45° C.60° D.120°

13.已知點O是△ABC的外接圓圓心,且AB=3,AC=4。若存在非零實數x,y,使得且x+2y=1,則cos∠BAC的值為( )。

圖2

圖3

15.為了豎一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖3,要求∠ACB=60°,BC的長度大于1m,且AC比AB長0.5m。為了穩固好廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為( )。

A.等邊三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

17.據氣象部門預報,在距離某碼頭正西方向400km處的熱帶風暴中心正以20km/h的速度向東北方向移動,距風暴中心300km以內的地區為危險區,則該碼頭處于危險區內的時間為( )。

A.9h B.10h C.11h D.12h

18.在銳角△ABC中,角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,已知sin(A-B)=cosC,則的取值范圍為( )。

A.(-1,1) B.(-2,2)

C.[-1,1] D.[-2,2]

19.已知a,b,c分別為△ABC的三內角A,B,C的對應邊,acosC+ccosA=2bcosB,則sinA+sinC的最大值為( )。

A.2 B.3 C.1 D.2

20.在邊長為2的等邊△ABC的邊AB、AC上分別取M、N兩點,點A關于線段MN的對稱點P正好落在邊BC上,則AM長度的最小值為( )。

A.23-3 B.43

C.43-6 D.2

21.在△ABC中,已知a=2,則bcosC+ccosB等于( )。

A.1 B.2 C.2 D.4

22.△ABC的三邊分別為a,b,c且滿足b2=ac,2b=a+c,則此三角形是( )。

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等邊三角形

23.在不等邊△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中a為最大邊,如果sin2(B+C)＜sin2B+sin2C,則角A的取值范圍為( )。

二、填空題(本大題共15個小題。)

24.在△ABC中,設角A,B,C的對應邊分別是a,b,c,且C=60°,c=則

25.在△ABC中,角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,若a=sinB+cosB=2,b=2,則A的值為____。

26.在△ABC中,角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c。若a+b=,△ABC的面積為sinC,sinA+sinB=sinC,則C的值為____。

27.在△ABC中,若AB=1,AC=3,

28.在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若該三角形有兩個解,則x的取值范圍是____。

29.在四邊形ABCD中,A+C=180°,AB=CD=2,BC=3,AD=1,則四邊形ABCD的面積等于____。

30.在△ABC中,角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,若則△ABC的外接圓直徑為____。

31.在△ABC中,AC=5,AB=12,AD為∠BAC的角平分線,D在BC上,CD=

33.在△ABC中,內角A,B,C所對應的邊分別是a,b,c,有下列說法:

①若a＞b＞c,則sinA＞sinB＞sinC;

③若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形;

④若(1+tanA)(1+tanB)=2,則△ABC為鈍角三角形;

⑤存在A,B,C使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立。

其中正確的說法為____。(寫出所有正確說法的序號)

34.設2a+2,a+1,2a-1為鈍角三角形的三邊,那么a的取值范圍是____。

35.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知4sin2且a+b=5,c=7,則△ABC的面積為____。

36.在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C所對的邊,b=c,且滿足=若點O是△ABC外一點,∠AOB=θOA=2OB=2,平面四邊形OACB面積的最大值是____。

37.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知c=6,sinA-sinC=sin(A-B)。若1≤a≤6,則sinC的最小值是____。

38.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,角B≤且8sinAsinC=sin2B,則的最小值為____。

三、解答題(本大題共13個小題。)

39.已知銳角△ABC中內角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,并且a2+b2=6abcosC,sin2C=2sinA·sinB。

(1)求角C的值;

40.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對應的邊,D是BC邊上靠近點B的三等分點,

(1)若2cosC(acosB+bcosA)=c,求C的大小;

(2)若c=AD=3,求△ABC的面積。

41.在△ABC中,內角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,且sin2+sinBsin

(1)求角A的大小;

(2)若b+c=2,求a的取值范圍。

42.在△ABC中,角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,已知函數f(x)=sin(2x+B)+(2x+B)為偶函數,且

(1)求b的值;

(2)若a=3,求△ABC的面積S。

圖4

43.如圖4,在一條海防警戒線上的點A,B,C處各有一個水聲監測點,B,C兩點到A的距離分別為20km和50km,某時刻B處收到發自靜止目標P的一個聲波信號,8s后A,C同時接收到該聲波信號,已知聲波在水中的傳播速度是1.5km/s。

(1)設A到P的距離為xkm,用x表示B,C到P的距離,并求x的值;

(2)求P到海防警戒線AC的距離。

44.在銳角△ABC中,角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,并且2acosB=2c-b。

45.在△ABC中,角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,且

46.已知△ABC中,AC=2,A=120°,cosB=

(1)求邊AB的長;

47.在△ABC中,角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,且

(1)求角C的大小;

(2)若△ABC的外接圓直徑為1,求a2+b2+c2的取值范圍。

48.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=24,2sinBcosC=sinA,求A,B及b,c。

圖5

49.如圖5所示,當甲船位于A處時獲悉在其正東方向相距20km的B處有一艘漁船遇險等待營救。甲船立即前往營救,同時把消息告知在甲船的南偏西30°方向,相距10km的C處的乙船。

(1)求處于C處的乙船和遇險漁船間的距離;

(1)求函數y=f(x)的解析式和定義域,并求出y的最大值;

(2)求函數S=g(x)的解析式和定義域,并求出S的最大值。

51.在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C所對的邊長,且C=,a+b=λc(其中λ＞1)。

(1)若λ=3時,證明:△ABC為直角三角形;

(責任編輯 徐利杰)