滌盡鉛華，返璞歸真
——看正、余弦定理在實際中的應用

■河南省許昌市第二高級中學 張軍志

滌盡鉛華，返璞歸真
——看正、余弦定理在實際中的應用

■河南省許昌市第二高級中學 張軍志

現實生活中,存在大量的對距離、高度、角度等問題的研究,褪去其載體,對于其表面的實際情景,則可抽象為對三角形的求解問題。借助于正、余弦定理,可對這些實際問題加以研究和解決。

問題一:測量距離問題

距離問題的解法:研究測量距離問題時,要選取合適的輔助測量點,構造三角形,將問題轉化為求某個三角形的邊長問題,從而利用正余弦定理求解。

圖1

如圖1,在一條海防警戒線上的點A,B,C處各有一個水聲監測點,B,C兩點到A的距離分別為20km和50km,某時刻,B收到發自靜止目標P的一個聲波信號,8s后A,C同時接收到該聲波信號,聲波在水中的傳播速度是1.5km/s。

(1)設A到P的距離為xkm,用x表示B、C到P的距離,并求x的值;

(2)求P到海防警戒線AC的距離。

解:(1)依題意,有PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12。

(2)作PD⊥AC于點D,在△ADP中,由cos∠PAD=得sin∠PAD=PAsin∠PAD=

如圖2,已知在東西方向上有M、N兩座小山,山頂各有一個發射塔A、B,塔頂A、B的海拔分別為AM=100m和BN=200m,一測量車在小山M的正南方向的點P處測得發射塔頂A的仰角為30°,該測量車向北偏西60°方向行駛了1003m后到達點Q,在點Q處測得發射塔頂B的仰角為θ,且∠BQA=θ,經測量tanθ=2,求兩發射塔頂A、B之間的距離。

圖2

解:在Rt△AMP中,∠APM=30°,AM=100,則PM=1003,連接QM,在△PQM中,∠QPM=60°,又PQ=1003,故△PQM為等邊三角形,QM=1003。

在Rt△AMQ中,由AQ2=AM2+QM2,得AQ=200。

在Rt△BNQ中,tanθ=2,BN=200,故BQ=100cosθ=

在△BQA中,BA2=BQ2+AQ2-2BQ

點評:求距離問題時注意:選定或確定要創建的三角形,首先確定所求量所在的三角形,若其他量已知則直接求解;若有未知量,則把未知量放在另一確定的三角形中求解。

問題二:解決高度問題

對于高度問題一般是把它轉化成三角形的問題,求解時要注意三角形中的邊角關系的應用,若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結合。

(2015·湖北高考)如圖3,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=____m。

圖3

解:由題意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°。

圖4

如圖4,為了估測某塔的高度,在同一水平面的A、B兩點處進行測量。在點A處測得塔頂C在西偏北20°的方向上,仰角為60°;在點B處測得塔頂C在東偏北40°的方向上,仰角為30°。若A、B兩點相距130m,則塔的高度CD=

解:分析題意可知,設CD=h,則AD=BD=在△ADB中,∠ADB=180°-20°-40°=120°,由余弦定理AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos120°,可得1302=3h2+解得h=10故塔的高度為10

點評:求解高度問題時注意:(1)在測量高度時,理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關鍵;(2)在實際問題中,可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題,這時最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯;(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉化為平面問題。

問題三:測量角度問題

求解測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上,畫出表示實際問題的圖形,并在圖形中標出有關的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將解得的結果轉化為實際問題的解。

在一次海上聯合作戰演習中,紅方一艘偵察艇發現在北偏東45°方向,相距12nmile的水面上,有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進,若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度,沿北偏東45°+α方向攔截藍方的小艇。若要在最短的時間內攔截住,求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值。

圖5

解:如圖5,設紅方偵察艇經過xh后在C處攔住藍方的小艇,則AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°。

根據余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,解得x=2。

故AC=28,BC=20。

圖6

如圖6,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救。信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20nmile的C處的乙船,現乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,求cosθ的值。

解:在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800?BC=207。

由∠BAC=120°,知∠ACB為銳角,則cos∠ACB=

由θ=∠ACB+30°,得cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=

點評:解決測量角度問題時,要明確方位角及方向角的含義,方位角是指北方向線與目標方向線按順時針之間的夾角,而方向角是正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角。

通過以上常見正、余弦定理在解實際問題中的應用,我們可概括其一般的解題步驟為:第一步,分析——理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖,并標出條件;第二步,建模——根據已知條件與求解目標,把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中,建立一個解斜三角形的數學模型;第三步,求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得數學模型的解;第四步,檢驗——檢驗上述所求的解是否符合實際意義,從而得出實際問題的解。

(責任編輯 徐利杰)