數形結合思想在小學數學教學中的應用

林智

數形結合是指通過數上構形或形中覓數來解決問題的一種思想方法。在小學數學教學中，它既是一種重要的數學思想與方法，又是一種理解數學、學好數學的有效手段。我們在研究數的時候，往往要借助于形的直觀來分析，使數更加清晰、透徹；在探討形的時候，又往往離不開數的本質。因此，在小學數學教學中有機地滲透數形結合思想，通過尋找數與形之間的關系，能使疑惑概念、難解題目豁然開朗，迎刃而解。

一、以形述數

小學生認知是從具體到抽象、從低級向高級發展的一個過程，但他們的抽象邏輯思維仍是直接與感性經驗的聯系，具有很強的具體形象性。因此，在教學數的問題時，應借助形的直觀，突出形象思維，使學生在圖形的操作或觀察中掌握知識。

1.以形悟數，在直觀中建立概念

數學概念是數學知識的種子，是發展學生思維能力的源泉。因此，在教學抽象的概念時，應以形的直觀形象來表達數的精確，使學生在理解概念的同時抽象出概念的內涵與外延，從而構建正確的、科學的數學概念。

例1：人教版《數學》四年級下冊“小數的近似數”中，強調“在表示近似數時，小數末尾的0不能去掉”。學生能記住這個概念，但很容易與小數的性質（小數的末尾添上0或去掉0，小數的大小不變）混淆，如何引導學生比較近似值7.8和7.80的異同點呢？教學中筆者在數軸上表示出近似值7.8和7.80的取值范圍（圖1），使學生清晰地看到為什么7.80末尾的0不能去掉，同時也深刻地感悟到7.80比7.8更精確。

通過用數軸直觀、形象的分析，不僅幫助學生理解近似數的概念，同時在學生腦海中構建了小數近似值的數學模型，對精確到小數的位數有了更本質的認識。

2.以形解數，在聯接中體悟方法

小學生的思維以形象思維為主，抽象思維相對較弱。在教學中，把抽象的數量關系通過直觀的、形象的圖來表示，達到化隱為顯、化難為易，從而將一些數學問題進行有效的轉化，使解題思路更加明了。

例2：人教版《數學》四年級下冊“乘法分配律”之后，出現了“1997×2013-1996×2014”一題。由于題中的數據比較大，直接計算比較麻煩且容易錯，因此須要分兩次利用乘法分配律來計算，能理解的學生很少。于是把這道題通過數變形進行教學，形象直觀地表達此題的意義，正確率明顯提高。在教學時，借助圖形進行如下的教學：首先構建如圖2的兩個長方形，長方形ABCD和長方形AEFG，CD=2013，AD=1997，AE=2014，EF=1996。由圖所知，ABHG是兩個長方形重疊的地方，于是就把原式的計算轉化為求兩個長方形的面積之差，即求長方形GDCH和長方形BEFH的面積之差，借助幾何直觀容易看出長方形GDCH和長方形BEFH的寬都是1，所以，兩者之差：2013×1-1996×1=17。

通過這樣直觀、形象的分析，學生在數與形的聯接中充分感受到解決問題策略的多樣性。

3.以形構數，在過程中探究奧秘

數和形是研究的兩個對象，在解決一些抽象的、復雜的、不好解釋的問題時，利用形象、直觀的形來揭示復雜、抽象的數學問題，數上構形、形中覓數，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，化難為易，化抽象為直觀，既激發學生的學習興趣，又促進學生思維能力的提高。

這樣，通過數與形的結合，既讓學生在畫圖中探究了數的奧秘，又在探究的過程中深刻地感悟極限的思想，享受著探究數學奧秘的有趣過程。

二、以數聯形

數的抽象用形的直觀來表達，使之隱含的數在直觀的形中顯現，以之凸顯數的知識與本質。

1.以數顯形，在觀察中理解本質

在小學數學計算教學中，有意識地用形來引導學生在觀察中尋找算法背后所蘊含的算理，以之來揭示計算的全過程，使學生在觀察中真正理解與領悟。

例4：人教版《數學》五年級下冊“數與形”中的計算題：1+2+3+…+99+100+99+……+3+2+1=？和1+3+5+……+197+199=？引導學生把這里的每一個加數都想象成一個點，通過在點陣圖中的分布中去尋找、去觀察，從而發現從另一個角度去思考的經典解法。

如圖（4-1）所示，從上往下一層一層數，即可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1，再仔細觀察，圖（4-1）順時針旋轉45°就得到圖（4-2）直視的正方形點陣圖，即可得到總數10×10=100。

再根據圖（4-2）從下往上沿著折線數，便可得出：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。仔細觀察圖形即可發現這兩題都可以用一種方法10×10=100來計算的規律。

通過這樣的教學，不僅使學生發現不同的計算可用同一的形來呈現所蘊含的本質，也使學生在觀察中找到數與形的一一對應，更加深刻地感悟到計算方式的多樣性。

2.以數想形，在對比中抽象本真

在實際教學中，學生在建立表象后，一般用數的抽象來解決形的直觀，而很少從多角度去思考問題的本真。實踐證明，給予學生足夠的時間，讓學生抓住數的特征，在探究過程中從每個角度去想象、分析、思考，在對比、歸納中逐漸理解概念、抽出本質，以使學生的空間觀念得到發展，邏輯思維能力得到培養。

例5：人教版《數學》五年級上冊“三角形的面積”的教學，在得出三角形的面積計算公式后，幫助學生理解同底等高的三角形面積相等這一性質。先讓學生計算圖（5-1）三角形的面積，再讓學生想象，底為6高為4的三角形就只有這一個嗎？若有，還可能是怎樣的？讓學生進行頭腦大風暴，在對比中一一呈現（圖5-2）。

學生在這些形狀不同的三角形中進行對比，逐漸領悟同底等高的三角形面積相等這一性質的本真。

3.以數釋形，在明理中構建概念

圖形以直觀、形象吸引了人們的視覺，在數學課堂中亦是如此，但是有些教學過程中，僅僅憑直觀圖形展示數學教學，有時不但不能很好地詮釋形，不能理解形背后的精髓，還會影響到數學教學的本真。這時，就應以數來詮釋形的價值及形后隱性的特征、規律，使學生更好地理解形，讓形發揮更大的作用。endprint

例6：人教版《數學》六年級下冊“圖形的放大與縮小”的教學中，教師提供了幾幅不同大小的長方形國旗，并提問：這幾副圖中，哪幾副看上去舒服，形狀相同？為什么？在這個問題的指引下，學生初步感知在生活中哪些圖形是正常的。在此基礎上進一步讓學生去探索長放大的倍數和寬放大的倍數相等。

感受放大與縮小是“大小不同，形狀相同”，從而進一步明白比的本質以及比在生活中的運用，為后續學習奠定基礎。

三、數形互譯

數中有形，形中有數，數形互譯，事半功倍。教學過程中，既要抓住表象的直觀分析，又要注重嚴謹的邏輯推理，用形的直觀來闡述數的抽象，以數的精確性來反映形的某種屬性，把數與形統一起來理解，使學生在思考中不斷提升。

1.數形互譯，在融合中構建新知

數與形相結合的例子在小學數學教材與教學中比比皆是。在計算教學中，算理與算法用數與形一一對應，使學生切身體驗算理的過程，深刻理解算理的本質；在概念教學中，數形結合，有助于學生在掌握概念的同時，以形的直觀來加深對數的理解，又以數的真實來促進對形的感悟，使之更好地構建新知；在數學廣角的教學中，更離不開數與形的結合，借助數與形使學生在認知的程度上減緩認識的難度，提高解決問題的能力。

例7：人教版《數學》六年級上冊“數學廣角”的練習中出現了完全平方公式，用小學知識如何理解（a+b）2=a2+2ab+b2，我們可以結合圖形用面積計算的知識探索一下（圖6）。（a+b）2可以看成邊長是a+b的大正方形面積，在大正方形中分出一個邊長為a的長正方形、一個邊長為b的中正方形和兩個相同的長方形，發現大正方形面積就是a2+2ab+b2，所以得出（a+b）2=a2+2ab+b2

此外，在容斥問題、行程問題中，圖形更是好幫手，甚至可以說離開了圖，小學生很難理解這類問題。但把數與形有機結合起來教學，既能激發學生的學習興趣，又能使學生積極主動地學習，有效構建新知，從而使課堂達到有效甚至高效。

2.數形互譯，在理解中提升思維

數學學習，無一不是數與形互相結合的學習，但教學時不能僅僅停留在空間觀念的形成和利用公式的計算上，而要在解決問題時注意數形互譯，使之培養學生的問題意識和發展學生的思維能力，提升學生的思維品質。

例8：人教版《數學》六年級下冊“策略問題”中的一道習題：一只螞蟻在一張6×5網格的左下角A點處，要爬到右上角的B點去，其中間有一個4×1的長方形空格，其余都是正方形，則螞蟻從A點爬到B點的最短路徑的不同爬法有多少種？這個問題若用列舉法解決，則比較繁瑣且容易出錯。如果通過數形相結，把題中的數量關系轉化成圖形關系，便能更直觀、方便地探究出數的奧秘。如圖7所示，求螞蟻從A點到B點的最短路徑的不同爬法有多少種？就是求A到B的最短路線有多少條？使用標數法，就能很清晰地看出最短路線的種數。這樣一來，就很容易算出從A到B的最短路線共有182條。

這樣，以數的精準呈現在形的直觀上，兩者和諧相融，使數、形富有活力，實現教學的有效性，從而更好地提升了學生的思維能力。

3. 數形互譯，在思考中提高素養

在解決問題時，利用數形結合的思想 ，把形的直觀和數的精確相互結合，不僅將抽象變具體、復雜化簡單，而且實現了數中有形、形中有數，更有利于學生有效、甚至高效地思考，從而提高學生的數學素養。

例9：學習人教版《數學》六年級上冊“圓的面積”后，我們可以利用圓面積推導過程中的轉化思想來解決相關問題，以提升學生數學的思維能力。

①把一個圓平均分成若干份，拼成一個近似的長方形，寬為8厘米，那么這個圓的面積是多少平方厘米？（圖8）

②如果這個近似長方形的長為25.12厘米，則這個圓的面積是多少平方厘米？

③如圓的周長比拼成的長方形周長少16厘米，則這個圓的面積是多少平方厘米？

④如果拼成近似的長方形周長是66.24厘米，則這個圓的面積是多少平方厘米？

學生通過解決這一組問題，不僅促進他們對圓面積公式的理解，而且能使他們明白圓面積推導的本質，使學生通過數的計算促進空間觀念的形成，從而提高小學生的數學思維能力和數學素養。

總之，在小學數學教學中，把數與形有機地結合起來，以形的直觀揭示數的奧秘，以數的精確掀開形所蘊含的本質，使數形和諧相融，幫助學生建立數的概念，理解數的本質，使解題思路與過程更加具體，同時讓學生享受探究數學奧秘的過程，更好地展現知識形成的過程，從而培養學生的思維能力和提高學生的數學素養，為學生的可持續發展奠定良好的基礎。

參考文獻

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[責任編輯：陳國慶]endprint