讓變式教學從標準走向非標準

變式教學是中國數學傳統教學的精華，被稱為“促進有效的數學學習的中國方式”[1]，其以在變與不變的博弈中突顯本質的優勢被廣泛使用于各學段的數學教學中。在小學階段，由于兒童的生活經驗、閱歷都不夠豐富，抽象思維、邏輯思維發展緩慢，變式教學如同一把雙刃劍，既給兒童的思維提供生長空間，同時也制約著這個空間。筆者近年來一直關注小學生的數學學業求助問題，發現兒童的許多學習困難或知識錯誤中，影響思維發展的癥結就在于變式教學的過于標準化，導致兒童思維的固化。主要表現在形態的標準呈現使兒童的思維聚焦但不夠開闊、表述的單一固化使兒童的思維樸實但缺少關聯、結構的亦步亦趨使兒童的思維標配但難以靈活、方法的直接優化使兒童的思維跳躍但無法創新。

實踐表明，充分利用非標準變式，可以有效拓展兒童思維發展的空間，使兒童的數學思維跳出固化的藩籬，走進本然的通道，從而獲得有效的學業求助。小學數學非標準變式是指在小學數學各層面教學中，相對于標準變式，一些不經常被教師使用，但有利于拓寬知識的外延、凸顯知識的本質、引導學生更深入思考的非標準形態、表述、結構和方法。在教學中，以兒童的思維發展為指向，有效實施非標準變式，讓學生在變與不變中辨析知識的本質屬性，自主建構知識體系，同時形成穩定的學習能力，為后續學習提供主體性幫助。

一、改變形態，讓兒童思維從局部走向全面

形態主要是指空間與圖形這部分內容。基于運動和構造的觀點，圖形的非標準變式可以從平面與立體、感知與辨析、位置與變換來設計，通過變換外形的變異維度，以突顯本質特征，從而使學生對圖形有更為全面的認知。

例如蘇教版《數學》三年級上冊“正方形的認識”可分這樣三步教學：首先展示師生課前搜集的各種幾何物體，實現從體到面的圖形引入；接著利用正方形與其他圖形的對比明晰正方形角與邊的特點；最后從大小、位置、方向的變式和反例性變式達成圖形認知的鞏固。

1.基于平面與立體的角度設計認識度與變式度的對接

當知識的某一個方面不變而其他發生變化時，變式的一個維度就產生了。在“正方形的認識”這個內容中，從實物抽象出正方形圖形，正方形邊的特點，正方形角的特點這三個認識度可以對接這樣的變式度：立體圖形的變式，邊長度、條數的變式，角大小的變式和圖形的大小變式。

2.基于感知與辨析的角度進行教學度與變式度的實施

首先利用多個幾何形體讓學生進行觀察、感知表面的不同，接著聚焦到表面是正方形的立體圖形，抽象出正方形圖形，讓學生初步感知形來自于體，這里通過多個形體的變式教學解決第一個認識度；第二、三個認識度同樣也不直接給出結論，而通過多種四邊形和其他圖形變式進行邊與角的對比，讓學生在非本質屬性的變化中感知正方形較為穩定的本質特征。

3.基于位置與變換的角度完成知識系統的整體建構

通過多種非標準變式學生已經對正方形建立了表象，對其特征也有了深刻的認知。最終利用位置的多種變式、大小的多種變化強化學生的整體認知，在運用中形成知識的整體建構。比如邊長不同的正方形、位置變化的正方形、反例性變式。在這一步，非標準變式已經由外延空間的變化轉為知識本身的非本質屬性變化。

對于形象思維慢慢向抽象思維過渡的小學階段，圖形適合兒童的認知與識記，但空間觀念卻是兒童須要加強的方面，如果在教學中一味呈現一些標準模型或是標準變式，當學生遇到并不標準的圖形和變式時，往往會產生學業困難。因此在此類教學中，應引入外形的非標準變式，盡量豐富表征、圖形的外延空間，有層次地 拓寬變異維數。

二、改變表述，讓兒童數學思維從淺層走向深度

表述主要指教學示例、條件和問題的呈現方式。表述的非標準變式通過數形結合、圖文轉換、文字敘述將例題多方面、多角度地進行相應的變化，讓學生在變化中剔除非本質屬性，指向更深層次的理解。

例如在教學蘇教版《數學》一年級下冊“兩位數加減兩位數的進位加和退位減”這一難點時，可利用圖形結合等變式設計如下表述，將零散的知識組合在一起：

填空題： □+3=70 80-□=7

文字題：小明要寫30個大字，已經寫了9個，還要寫多少個？

變化的是表述路徑，不變的是知識本身，這樣一組練習在強化算理的同時將不同的題型串起來，讓學生的認知形成一個完整而又四通八達的體系。

1.利用數形結合搭建理解的橋梁

數形結合是數學學習的重要方法，通常數形結合分為以形助數和以數解形。在變式教學中，主要通過數形的相互轉換完成教學目標。例如低年級可借助直線認識數的順序和大小，高年級可畫線段圖幫助理解實際問題中的數量關系。

2.善用圖文轉換打通知識的鏈接

圍繞“40-5=”這一核心設計表述不同的兩層變式：表述形式變式和表述內容變式。表述形式變式為：全圖→半圖半文→全文，遵循兒童的思維特點從形象向抽象過渡。在表述內容上首先將“40-5=”作為本質（不變）放在買書包的情境（變化）中，幫助兒童理解“商品價錢、找回的錢和付出的錢”之間的關系；接著再將買東西的數量關系作為本質（不變）進行商品和數字的變式。

3.巧用文字敘述明晰思維的指向

在掌握上述兩個知識點后，從式子（符號）和文字表述兩方面進行非標準變式。像“□+3=70”和“80-□=7”這樣的題型有利于學生進一步理解和掌握加減法各部分間的關系，為高年級的方程教學打基礎。在利用文字進行問題的表述時，可以進行不同層次的轉換，如情境不變變數字，指向數學情境的熟悉和利用；數字不變變情境，指向在不同的情境中理解知識的本質；數字情境均變，指向更高層次的數學理解。

語言文字通俗易懂、圖形式子直觀形象，兩者結合或相互轉換可以將數學知識靈動地串成一個整體，也是兒童數形結合思想形成的有效途徑。對于還處在以具體形象思維為主，逐步向抽象思維過渡的小學生來說，利用數形結合、圖文轉換、文字敘述等方式設計一些表述不同的概念辨析題組，尤其是非標準變式的練習，可以幫助兒童在學習中去除非本質屬性，指向更深層次的理解。endprint

三、改變結構，讓兒童數學思維從連續走向非連續

結構包括外顯的知識學習進程和內部的知識建構過程。結構的非標準變式是將二者相結合，以關注兒童更加靈活的探究為設計原則，通過改變既定而又被動的學習過程，從而達到兒童內部知識建構的優化。

例如在教學蘇教版《數學》三年級下冊“小數的初步認識”一課時，可以首先從對購物清單上的數據分類來引出小數，通過整數與小數的對比初步認識小數；接著引導學生探索如何在代表1元的長方形中表示出0.4元，從而認識0.4的意義，同時建立小數與分數之間的聯系；最后利用課件將長方形紙變成尺子和數軸進行小數知識的變式建構。

1.利用反例突顯，在對比辨析中觸摸知識

新知為什么是新知？和舊知有什么不同和聯系？在課初，設計利用消費清單上金額的不同，讓學生進行分類。學生在分類中明白了我們之前學習的數是整數，而今天學習的數和整數不一樣，它有小數點，由三部分構成……分類的過程就是一個對比、分析的過程，分類的結果也是一個總結、提升的過程。非標準反例變式可以提供有利于辨別的信息，讓學生在對比、反思中辨析，突出知識的本質屬性，幫助學生更準確地形成模型。

2.改變構建方式，在原有體系上衍生新知

如何建立小數與分數的聯系？如何讓學生體會到十進制分數可以用小數表示？改變例題的常規教學，給學生創設操作的條件：把長方形紙當作1元，表示其中的4角，學生自然想到平均分成十份，涂其中的4份，這個操作過程成功地喚醒了學生原有的知識儲備（），水到渠成地將小數與分數聯系起來。

3.轉換練習視角，在層層變式中擴大視野

在練習環節中利用非標準變式將不同系統模型（貨幣模型→米制模型→數軸）聯結在一起，變化的是模型的外形和表述形式，不變的是小數的意義本質。教學實踐表明，學生在通過自主探究發現“零點幾就是十分之幾”后，對后面的變式練習完成得很好，特別是數軸的變式，讓學生避免產生小數就是比1小的數這樣的錯覺。學生學習過程的優化直接影響學生內部知識體系的建構。

改變被動的學習方式，適時創設有效的非標準變式活動及練習，給學生提供觀察、猜想、操作、驗證、歸納等機會，能夠激發學生的求知欲，促進學生更積極地參與活動，學習方式和學習結構的優化同時也促進了兒童內部知識體系的優化建構。

四、改變方法，讓兒童數學思維從套路走向多元

方法具體包括探索的方法、計算的方法和解決問題的方法。在此類教學中，方法的優化固然重要，但方法的多樣卻可以給兒童的思維帶來一份不一樣的理解和生長。

例如蘇教版《數學》四年級上冊“平均數”一課，可以這樣設計：全課從統計全班同學看書的本數這一活動展開，首先引導學生討論用哪個數代表，從而引出平均數；其次利用移補貼圖和平均數的計算進一步理解平均數；最后在變式題組中領悟平均數最大值和最小值之間的關系，體會平均數的敏感性。

1.以情境的變式突顯探索的核心

需求是有效探索的前提。教學中，在分析學生現有知識和生活經驗的基礎上通過統計“看書多少”這個活動情境，讓學生在自身的活動中不由自主地進入對知識的需求和探究。通過探索情境的創設與改變、條件的辨析與選擇、材料的選取與應用，學生在變化中剔除非本質屬性，聚焦本質特征，打破原有的思維空間，培養學生的探究與理解能力。

2.以適切的方法豐富計算的空間

求平均數通常帶給學生的就是先加再除，如何讓學生打破這一思維定勢？安排操作讓學生在實際的變化中感受平均數的形成；利用不同數據引導學生進行方法優化；巧設變式練習讓學生體會到計算也需“因材”。計算方法的優化固然重要，但方法的形成、辨析、篩選需要一個過程，這個過程會因學生的思維層次不同呈現可變性，也會因具體的數字不同呈現靈活性，更會因解決問題的不同呈現多樣性。在教學中關注計算的這些可變因素，就不會出現“硬逼列豎式計算”等做法，從而關注到學生的巧算、口算、估算等多種計算方法的培養。

3.以多層的鋪墊提升問題的價值

問題解決的方法是多樣的。在多種解決方法中須要提取學生的知識儲備也各不相同。在教學中，可以針對不同的知識點和訓練點，以多層次的問題鋪墊引導學生將這個過程變得更有價值。上述課例中，將單一的計算彩帶平均長度的問題增加了“前估”“后變”兩個層次的問題變式：計算前先估一估平均長度，引導學生思考平均數的范圍；計算驗證后又利用一根彩帶長度的增加或減少引導學生體會每一個數據發生變化都會引起平均數的變化。通過多層的變式鋪墊，使學生對知識的理解、對問題的思考更加深刻。

無論是探索的過程、計算的思路還是問題的解決都需要非標準變式在過程中進行適當鋪墊，變化原本已“定型”的方法，給兒童的思維提供多一份的選擇。在設計探索活動時，可以借助變化問題的情境、條件呈現的形式，選擇更貼近兒童認知的活動；在計算的優化前，可以提供不同數字的算式，讓兒童在不同的數字中體會到計算的靈巧和多樣；在問題的解決中，既可以改變條件的呈現方式來突顯數量關系的本質，又可以對問題進行多角度的衍生與提升，讓兒童的思維從既定的套路走向多元的探究。

小學數學非標準變式的實踐，為數學課堂的變化提供了可能：靈活、多元地變化非本質屬性以突出事物的本質屬性，學生在變與不變中進行對比、分析、猜想、驗證、歸納，從而明確知識的本質特點，促進知識全面建構，更重要的是這個過程拓寬了學生的思維發展空間，打破了原本 “固化”的思維成長路徑，幫助學生獲得有效的學業求助，讓其思維發展走向開闊與深刻。

參考文獻

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[責任編輯：陳國慶]endprint