中國剩余定理和拉格朗日插值公式的關系探究

張啟新

(華南師范大學 數學科學學院, 廣東 廣州 510631)

中國剩余定理和拉格朗日插值公式的關系探究

張啟新

(華南師范大學 數學科學學院, 廣東 廣州 510631)

本文將中國剩余定理推廣到多項式環上, 并用其推導出了拉格朗日插值公式, 以此說明拉格朗日插值公式是中國剩余定理的一個推論.

同余; 中國剩余定理; 拉格朗日插值公式

一、定義與引理

定義1 數環R上的三個多項式m(x),f(x),g(x)若滿足m(x)|f(x)-g(x), 就稱f(x)在模m(x)下與g(x)同余, 記作

f(x)≡g(x)(modm(x)).

比如x2+x+1≡x(modx2+1).

易知多項式環上的同余與整數的同余擁有相同的性質.

定義2 對任意a(x)∈R[x], 如果存在b(x)∈R[x]滿足

a(x)b(x)≡1(modm(x))，

而且?°(b(x))

b(x)=a-1(x)(modm(x)).

這里?°(a(x))表示多項式a(x)最高次項的次數. 與整數環的情況相同, 逆存在的一個充分必要條件是原多項式和模多項式互素, 并且若逆存在, 其必是唯一的.

引理1 (余數定理)若f(x)=(x-a)q(x)+r, 則下面兩個敘述等價:

(ⅰ)r=f(a)，

(ⅱ)f(x)≡r(modx-a).

證明略.

二、主要結論

類似于整數環上的中國剩余定理, 首先有

定理1 (中國剩余定理)若數環R上的n個非零次多項式m1(x),m2(x),m3(x)是兩兩互素的, 則方程組

有通解

(1)

仿照整數環上的中國剩余定理的證明, 易證(1)式確是方程組的解. 在規定了解的次數后, 若存在另外的f1(x)滿足上面的方程組, 且?°(f1(x))

mi(x)|f(x)-f1(x),i=1,2,3,…,n.

各項相乘得

M(x)|f(x)-f1(x).

然而?°(f(x)-f1(x))

f(x)=f1(x).

證畢.

下面由定理1來推導定理2.

定理2 (拉格朗日插值公式)設R上的多項式f(x)滿足

f(ai)=bi,i=1,2,3,…,n+1,

(2)

其中所有ai互不相等, 且?°(f(x))≤n, 則

證明由引理1, 條件(2)可以轉變為

f(x)≡bi(modx-ai),i=1,2,3,…,n+1.

由于所有ai兩兩不相等, 所以所有的一次多項式x-ai是兩兩互素的.

由定理1,f(x)有通解

再次利用引理1, 有

注意到?°(f(x))≤n

證畢.

我們得到結論: 拉格朗日插值公式是中國剩余定理的一個直接推論, 或者說是中國剩余定理的一種特殊形式.

[1]裴定一, 徐祥. 信息安全數學基礎[M]. 北京:人民郵電出版社, 2007:17-18.

[2]孫智偉. 基礎數論入門[M]. 哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社, 2014:51-52.

[責任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)27-0024-02

2017-07-01

張啟新(1996.3-)，男，漢，廣東省廣州人，大學在讀.