如何培養初中生利用二次函數解決問題的能力

江蘇省豐縣創新外國語中學 唐義琴

如何培養初中生利用二次函數解決問題的能力

江蘇省豐縣創新外國語中學 唐義琴

二次函數屬于初中數學內容的一部分，它與代數、三角函數等相聯系。近幾年，由于二次函數題目靈活，難度較大，因此在綜合題型中所占比例較大。基于此，本文對如何培養初中生利用二次函數解決問題的能力進行研究，采用文獻法、實例論證法等，從利用幾何畫板視角，提出培養初中生利用二次函數解決問題能力的方法，為數學教育工作者教授二次函數提供一定的幫助，對推進素質教育具有重要的現實意義。

初中生；二次函數；解決問題；能力

目前，由于受傳統教學方法的影響，初中生對數學知識的利用能力不強，特別是利用二次函數解決問題的能力較弱，這不僅是由于二次函數所涉及的內容較多，還與學生自身的學習能力有關。為了培養初中生利用二次函數解決問題的能力，本文從自主探究方法、數形結合法及化歸轉換法使用去解決相關問題，以此提高初中生利用二次函數解決問題的能力。

一、利用自主探究方法解決函數圖形變化中說理問題

在數學學習中，學生是學習的主人，通過老師的引導參與到學習活動中去，從而獲得各種知識。而自主研究類題目是先對給定的一個圖形進行研究，然后在某些條件發生改變時，則相應給定的圖形會發生改變，相關的理論也會發生改變。

例如：在如下的直角坐標系中，點A是二次函數y=x2在第二象限內的任意一點，連接OA，過點O作OB⊥OA，與圖象相交于點B，分別以OB、OA為邊構造矩形ACBO。如圖1所示，當點A的橫坐標為 時，矩形ACBO是一個正方形。

圖1

圖2

分析：過點A作x軸的垂線，垂足為點D，因為四邊形AOBC為正方形，所以∠COA為45°，那么，∠AOD=45°。通過證明得到△AOD是等腰直角三角形，將A點的坐標設為 （-a，a），把點A坐標代入y=x2計算即可。

解：（1）如圖2，過點A作AD垂直x軸于點D，

∵矩形AOBC是正方形， ∴∠AOC＝45°，

∴∠AOD＝45°，

∴△AOD是等腰直角三角形，

設點A（－a，a）（a≠0），

∴（－a）2＝a，

∴a1=-1，a2=0（不合題意，舍去），

∴-a1=-1，

∴當點A的橫坐標為 -1 時，矩形ACBO是一個正方形。

二、利用數形結合法解決函數圖形變化中蘊含的函數問題

函數圖形變化的試題比較難，通常在考試壓軸題中出現。圖象運動變化作為主要特征，在變化的過程中，需要找到兩個變量之間的某種關系，根據題目的要求，以此求解自變量的取值范圍，最終尋找出符合題目條件的特殊性，這種特殊性需要應用數形結合思想。

例如：如圖3，已知直線l:y=-x+2與y軸相交于點A，二次函數y=（x-1）2+k經過點A，頂點為點B，另一個函數y=（x-h）2+ 2-h（h＞1）的頂點為點D，兩個二次函數的圖象相交于點C。（1）求出點B的坐標，并說明點D在直線l上；（2）設交點C的橫坐標為m，則交點C的縱坐標為多少？由此進一步探究m關于h的函數關系式。

圖3

圖4

分析：對于此題，若想求m的大小，需要將以上的數值進行求解，具體步驟如下：

解：（1）當x=0 時，y=2， ∴A（0，2），

∴1+k=2 ，∴k=1， ∴B（1，1）。

∵D（h，2﹣h），

∴當x=h時，y=﹣x+2=﹣h+2=2﹣h。

∴點D在直線l上。

（2）∵點C為兩二次函數圖象交點，

三、利用化歸轉換法解決函數圖象中動點形成的相似問題

二次函數是初中函數的主要內容，作為高中圓錐曲線的基礎，通常與相關的幾何圖形相聯系，其涉及最大面積、最小距離的問題，需要建立二次函數關系式，通過運用二次函數解決實際問題。對于函數圖象中動點形成的相似問題，需要根據圖形之間的數量關系，利用數形結合思想與方程思想，形成一元二次方程，求解點的坐標，得到函數解析式。利用幾何畫板，反映其幾何關系，當條件和結論變化時，從諸多方面對數學問題的變化進行分析，在不同條件下找到解決問題的方法，將代數問題轉化為幾何問題，把抽象問題轉化為形象問題，以此促進學生積極思考。

例如：如圖5，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點A的坐標為（1，0），交點B的坐標為 （2，0），與y軸相交于點C（0，2），過點A、點C畫直線AC。（1）求二次函數的解析式； （2）若點P在x軸的正半軸上，并且PA=PC，求線段OP的長度。

圖5

分析：（1）已知圖象與x軸的兩個交點A、B的坐標，設交點式解析式，先將點C（0，2 ）代入，求二次項系數a的值也就不難了，從而得到拋物線解析式。（2）假設OP=x，那么PC=PA=x+1，在直角三角形COP中，依據勾股定理列一元二次方程，解方程得出OP的長度。

解：（1）根據題意，設 y=a（x+1）（x-2）（ a≠0），

∵C（0，-2），∴﹣2=a（0+1）（0-2），

∴a=1， ∴ y=（x+1）（x﹣2），

即 y=x2-x-2。

（2）假設OP=x，那么PC=PA=x+1，

在 Rt△ POC 中，x2+22=（x+1）2，

∴ x=OP=1.5。

綜上所述，要培養初中生利用二次函數解決問題的能力，可以從自主探究方法、數形結合法及化歸轉換法的使用進行展開，通過具體實例進行分析，有利于學生利用二次函數解決相關問題，為數學教育工作者教授二次函數提供一定的幫助，對推進素質教育具有重要的現實意義。

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