從另一角度思考二項式定理

江西省上饒中學 呂 峰

從另一角度思考二項式定理

江西省上饒中學 呂 峰

二項式定理是高中重要的一節內容。盡管每個教師都有自己的教學特點，但在處理二項式定理這一節時，方式都比較統一。本文旨在提供另外一個講解二項式定理的思路，以供各位同仁參考。

二項式定理；卡亞姆

二項式定理是高中課本中重要的一節內容。這節的內容是安排在排列組合之后學習的，這是因為它的學習要基于排列組合。對于這節課的教學，課本上是這樣展開的：先從幾個特殊的n值入手，再推出一般結論。

比如當n=2時，（a+b）2=a2+2ab+b2，在沒有合并同類項前，它有四項，分別是a2、ab、ba、b2，每一項的系數都是1，而合并了同類項后，有三項，分別是a2、ab、b2，系數分別是1、2、1，跟之前的有區別，產生區別的原因是因為合并了同類項。現在從排列組合的角度看這些系數的產生。要確定某一項，必須從第一個括號中選一個字母，比如確定ab這一項的系數，要么從第一個括號中選一個a，這樣的話就必須從第二個括號中選一個b，或者先從第二個括號中選一個a，那么第一個括號中必須選b，這樣總共有2種選法，也就是

種選法，這也是ab這一項的系數。用這種方法，我們推廣到一般結論去，從而得出二項式定理。

用這種方法處理二項式定理，好處很明顯，學生很容易懂。雖然如此，但筆者在用這種方法上過這節內容的課后，總感覺不痛快，單單那個像繞口令一樣的話語“要……，要么……，就……”就讓人說出來氣喘吁吁，也違背了數學教學應簡潔明了的原則。于是，筆者就想能不能用一種更自然的方法教學二項式定理。翻閱了大量資料，比較了一些方法，覺得卡亞姆的方法很自然，而且跟排列組合聯系得很緊密，從而也讓知識的過渡更自然。

卡亞姆的二項展開式：

當n 是任意正整數時，求以a 和b 的冪表示的二項式（a + b ）的n 次冪。

解：為了確定二項展開式，寫出：

這里，右邊包含n 個相同的（a + b）的乘積，像人們所了解的那樣，括號的乘式包含從每一括號中選出一項，得出所選項的乘積，并繼續該過程，直至取盡所有可能的選擇，最后將得到的乘積加在一起。

這類乘積的形式如下：

其中，從開頭的α1個括號中各取出因子a，從隨后的β1個括號中各取出因子b，再從其后的α2個括號中各取出因子a……在這種情況下，α1+β1+α2+β2+……等于現有的括號數，即n。

除上述的這種方法外，一般還有許多其他方法可以求得乘積P。例如，從前面α個括號中取出a，而從后面β個括號中取出b；從前面β個括號中取出b，而從后面α個括號中取出a，等等。如果乘積P 在上述方法中出現C 次，C 被理解為代表一個最初的未知數，那么

表示二項展開式的一項。其他各項除了指數α與β以及系數C 不同外，都具有相同的形式。因此，α+β總是等于n。

該題的關鍵是確定所謂的“二項系數”C，即回答問題：在二項展開式中，乘積 出現多少次？

為了解答這個問題，首先按照從括號中最初選定的順序逐個地寫出乘積中的因子a 和b：

這就是出現α個相同元素a 與β個相同元素b 的n 個元素的排列。這些元素排列種數的多少與從n 個（a + b）的連乘式中得到的項P一樣。

從上面的解答過程中可以看出，卡亞姆所采用的方法完全是基于排列組合的，從之前學習的排列組合中可以找到很多模型與之對應。比如：有3本相同的數學書，4本相同的語文書，共有幾種疊放方式？學生對類似的模型都很熟悉，當然可以輕易理解卡亞姆的二項展開式。教師在這里教學時，實際上只需要讓學生聯想之前學習過的一些排列組合模型，相信學生就可以很快得出結論。用這種方法教學，既讓教師教得輕松，而且可以讓學生學得輕松。何樂而不為呢！