幾何尋道 圖形模型最相宜
——由一道向量競賽試題引出的思考

● (開化中學(xué)，浙江 開化 324300)

2017-07-09

李承法(1969-)，男，浙江開化人，中學(xué)高級教師．研究方向數(shù)學(xué)教育．

幾何尋道圖形模型最相宜
——由一道向量競賽試題引出的思考

●李承法
(開化中學(xué)，浙江 開化 324300)

近年來，含有條件c=λa+μb(其中λ，μ∈R,λ+μ=1)的這類平面向量問題在高考卷、競賽卷以及高考模擬卷中屢屢出現(xiàn)．這類試題常考常新，造成很多學(xué)生對此類試題無法應(yīng)對.文章提出解決此類試題的關(guān)鍵在于運(yùn)用向量“數(shù)”和“形”的屬性，構(gòu)造三點(diǎn)共線圖形模型，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可以有效求解．

平面向量；三點(diǎn)共線；數(shù)形結(jié)合

1 一個(gè)常用結(jié)論和圖形模型

圖1

2 問題的引出和解析

例1已知平面向量a，b，c，滿足|a|=1，|b|=2，|c|=3(其中0<λ<1),若b·c=0，則|a-λb-(1-λ)c|所有取不到的值的集合為______．

(2017年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題第9題)

解法1將向量b,c的起點(diǎn)平移至原點(diǎn)O，再分別以b,c為x,y軸正向建立平面直角坐標(biāo)系，則向量b=(2,0)，c=(0,3)，向量λb+(1-λ)c對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為P(2λ,3(1-λ))，從而

點(diǎn)A在單位圓(即⊙O)上運(yùn)動，從而當(dāng)AP⊥BC時(shí)(如圖2)，|a-λb-(1-λ)c|取到最小值

圖2 圖3

而0<λ<1，點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合,于是

圖4

2.1 同類試題的解決

( )

A．01

C.m+n<-1 D.-1

(2014年浙江省高一數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽第一試第8題)

分析因?yàn)榫€段OC與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)，不妨設(shè)為點(diǎn)P，則由向量基本定理中的三點(diǎn)共線結(jié)論可知

且

λ1+λ2=1.

m=λλ1，n=λλ2,

因此

m+n=λ(λ1+λ2)=λ>1.

故選B．

( )

(2017年4月湖州、衢州、麗水三地市高三數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測卷第9題)

圖5

2.2 試題變式的歸納總結(jié)與延伸

筆者發(fā)現(xiàn)，例1是以平面向量基本定理為背景的題目，應(yīng)用前面的結(jié)論和圖形模型可以解決，而且這道題還能一般化，即當(dāng)∠AOB=α(其中α為定角且α≠kπ,k∈Z)時(shí)，還能確定m+n的取值范圍．

圖6

sinθ=msinα，

且

cosθ=mcosα+n，

即

圖7

且λ1+λ2=1．因?yàn)椤鱋AB∽△ODE，由相似比得

進(jìn)而

m=cλ1,n=cλ2，

因此

m+n=c，

|OP|<1，

則

m+n>1，

限于篇幅，證明從略.

3 例題與變式研究

(2011年重慶市第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)模擬試題第10題改編)

圖8 圖9

(2013年浙江省杭州市高三一模數(shù)學(xué)試題第16題)

評注本題主要運(yùn)用了三點(diǎn)共線、定理1和圖形模型．

( )

(2017年浙江省余杭、長興、縉云三校4月高考模擬試題第8題)

分析如圖10，易知

同理可得

故選C．

圖10 圖11

圖12 圖13

變式3若a，b為平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足c+a=λ(c+b)(其中λ∈R)，則|c|的最小值為______．

分析c+a=λ(c+b)(其中λ∈R),即

4 向量問題應(yīng)試策略

向量復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言、向量相關(guān)概念的理解，特別是試題中的向量等式表達(dá)形式如c=λa+μb(其中λ,μ∈R，λ+μ=1)表示三點(diǎn)共線、不等式形式意義的理解，運(yùn)用圖式(幾何法)則要求我們在復(fù)習(xí)備考時(shí)要掌握基本圖形模型，理解題目的幾何屬性、數(shù)圖結(jié)合，追求理解幾何實(shí)質(zhì)，施行向量的相關(guān)線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化求解策略，這在應(yīng)試中尤為重要．教師復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)要指導(dǎo)學(xué)生重視整理：1)基本概念、定理、向量運(yùn)算特別是數(shù)量積及其幾何意義；2)主要的思想方法技巧；3)重要的圖形背景(如平行四邊形法則、圖式模型)[3]．

另外，高三數(shù)學(xué)教師要關(guān)注每年的數(shù)學(xué)競賽題，特別是向量試題，它的變式或同類題往往成為當(dāng)年或今后高考題的前生.每年浙江省數(shù)學(xué)高考卷中的向量試題是全卷的亮點(diǎn)之一，它通常都是前幾年數(shù)學(xué)競賽向量題的演變，因此它就成了既新穎又蘊(yùn)含思想立意的靚題了．

[1] 章建躍．讓學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中學(xué)會認(rèn)識和解決問題的方法[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2013(1/2)：3-6．

[2] 李承法．向量問題的幾種圖形模型[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2015(10)：46-47．

[3] 周榮陽．“變”中找“定”——淺析平面向量幾何法[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2014(10)：32-34．

O123.1

A

1003-6407(2017)10-47-04