素養本天成 向量妙顯之
——基于2017年浙江省數學高考試題第15題

● (平湖中學,浙江 平湖 314200)

2017-07-22

李學軍(1976-)，男，吉林德惠人，中學高級教師.研究方向數學教育.

素養本天成向量妙顯之
——基于2017年浙江省數學高考試題第15題

●李學軍曲文瑞
(平湖中學,浙江 平湖 314200)

數學教師要研究學生的解題，引導學生用數學的眼光觀察問題，用數學的思維進行思考和解決問題，去體會、體驗在解題過程中的糾結和成功之后的快樂，實現真正意義的數學學習.文章結合2017年浙江省數學高考試卷中的一道填空題，深入挖掘考點，深刻探尋題源，進而享受2017年浙江省數學高考文理合卷的經典美.

浙江考題;解法探究;教學啟迪

2017年的高考已經落下帷幕，2017年是浙江省高考改革數學文理合卷的第一年，根據以往文科生和理科生的思維特點，浙江省考試院完善了往屆的考試說明，出臺了《2017年浙江省普通高中高考考試說明》.2017年的高考試卷嚴格按照新的考試說明及學科指導意見進行命制，關注學生數學基礎及必備數學問題解決能力的考核，強調數學知識的基礎性、能力應用的綜合性，真正體現了《數學課程標準》中提到的“使學生掌握數學的基礎知識、基本技能、基本思想，使學生表達清晰、思考有條理，使學生具有實事求是的態度、鍥而不舍的精神，使學生學會用數學的思考方式解決問題、認識世界.”

1 去年今日此門中——考題重現

題目已知向量a,b滿足|a|=1，|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______.

(2017年浙江省數學高考試題第15題)

本題作為填空題的第5題(填空題共7題)，在填空題中處于關鍵性的位置，起到承上啟下的作用，同時根據往屆文科考生和理科考生的特點命制這樣一道具有分水嶺的漂亮的向量考題，能夠快速考查出數學思維高、素養深的學生；對于數學水平一般的學生通過對問題的分析理解，從問題的概念入手，運用常規方法依然能夠達到自己理想的結論.教材《數學(必修4)》第109頁的例1就是探究平行四邊形的4條邊與兩條對角線之間的關系問題.本題緊扣教材，無論是函數值范圍的處理還是數形結合的數學思想都源于教材.該題作為填空題的關鍵性試題語言簡潔，解題入口寬、層次多、區分度好，具有非常明顯的“浙江風彩”.

2 人面桃花相映紅——解法探究

視角1坐標的視角

分析設a=(cosα,sinα)，b=(2,0),則

|a+b|+|a-b|=

點評利用坐標法解決平面向量問題，實際上就是把抽象的向量問題轉化為坐標運算.不同的學生建立的平面直角坐標系可能不同，但是對于解決該題影響并不大，關鍵是轉化為以角為自變量后的函數最值的處理.通過觀察可以發現兩個根號內部的變量之間是互為相反數的，因此，平方處理是比較理想的處理方式.

視角2基底的視角

分析設=α∈[0,π]，則

|a+b|+ |a-b|=

以下解答同視角1.

點評平面向量基本定理是平面向量知識中非常重要的一個知識點.易知向量a,b是非常恰當的一組基底(當a,b不共線時)，只要確定a,b的夾角,|a+b|+|a-b|就可以用夾角進行表示，通過引入向量的夾角，問題的難點便得到很好地轉化.

視角3規劃的視角

分析設|a+b|=x,|a-b|=y,其中x,y≥1,則

x2+y2=|a+b|2+|a-b|2=10，

圖1

原問題轉化為“已知x2+y2=10(其中x≥1,y≥1)，求x+y的最大值及最小值”.

點評該方法的關鍵是換元，通過換元找出兩個變元x,y之間的等量關系，通過分析得出變元x,y的范圍，從而得出軌跡是圓的一部分.而要研究的結論恰好和直線的截距有關，利用數形結合比較容易得出結論.

視角4根的分布視角

分析由視角3可知，原問題可轉化為“已知x2+y2=10(其中x≥1,y≥1)，求x+y的最大值及最小值”.

圖2

2x2-2tx+t2-10=0.

由題意知方程2x2-2tx+t2-10=0在[1,3]內有兩個根.

設f(x)=2x2-2tx+t2-10,如圖2所示得

解得

點評該方法的關鍵是發現等式中的二次關系，還有一個一次關系.兩個方程、3個變量，通過消元得到以x為主元的一元二次方程，方程的根的范圍可以確定，利用根的分布解決問題應是順理成章的，但是在考場上要通過兩次轉換，并且要解4個不等式，對于小題目來說，不應該成為主流.

視角5三角換元的視角

分析由視角3可知，原問題可轉化為“已知x2+y2=10(其中x≥1,y≥1)，求x+y的最大值及最小值”.

點評該方法來源于三角函數的定義，實質是引進新的變元，把x,y用新的變元表示，把新的變元作為主元，找出主元的取值范圍，從而轉化為函數問題進行處理.也可以通過平方，轉換為齊次式，以tanα為主元進行處理，這也是一種非常漂亮的方法.

視角6構造的視角

分析設a=(1,0)，則

-a=(-1,0),b=(2cosα,2sinα).

圖3

如圖3，設點A(1,0),A′(-1,0),B(2cosα,2sinα),則

|a+b|+ |a-b|=

|BA′|+|BA|,

點評該方法的關鍵是從兩個絕對值入手.絕對值的幾何意義就是距離問題，通過引進坐標，轉化為一個動點到兩個定點的距離和的最值問題.轉化之后可以發現，這剛好是橢圓的定義，進而求動態橢圓的長軸長的最值問題，通過觀察即可得到想要的結果.該方法應該是此問題最本質的考查.

視角7幾何的視角

分析如圖4，設a=(cosα,sinα)，則

b=(2,0). -b=(-2,0),

圖4

設點B(2,0),A(-2,0),P(cosα,sinα),則點Q在圓x2+y2=1上,從而

|a+b|+ |a-b|=

|QA|+|QB|,

當點A,Q,B共線時，|a+b|+|a-b|取得最小值4.

點評該方法同視角6類似，轉化為動點到兩個定點的距離和，當3個點共線時，距離和最小.但是通過幾何圖形尋找最大值有一定難度.

視角8不等式的視角

分析平行四邊形的兩條對角線及4條邊有如下關系：平行四邊形的兩條對角線的平方和等于4條邊的平方和.特殊情況：當四點共線時仍然成立.

設|a+b|=x,|a-b|=y，其中x≥1,y≥1，則

x2+y2=10(其中x≥1,y≥1)，

從而

(x+y)2≤2(x2+y2)=20，

點評這個平行四邊形的結論是教材中的例題，同時也是非常重要的結論，在例題的探究過程中還可以得出極化恒等式.已知平方和為定值，求兩個正數的和的最大值，恰好可以構造基本不等式的變形公式或者柯西不等式，但用不等式求最小值對學生的能力又提出了新的考驗.

3 人面不知何處去——源題追溯

源頭1已知實數a,b,c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為______.

(2014年浙江省數學高考文科試題第16題)

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省數學高考理科試題第8題)

源頭3若實數x,y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是______.

(2015年浙江省數學高考理科試題第14題)

源頭4已知平面向量a，b，|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e為平面的單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大值是______.

(2016年浙江省數學高考文科試題第15題)

4 桃花依舊笑春風——教學啟迪

一道精彩的高考試題在一定程度上能夠指導教師根據學生駕馭知識的實際情況，調整教學內容以及根據教學內容選擇恰當的教學手段和方法，進而直接影響學生的數學學習能力的提升.這道平面向量填空題作為試卷中的關鍵性題目，雖然有著“入手易，解法多”的特點，但是在操作的過程中，有部分學生仍然有力不從心的感覺[1].因此，在平時的教學中我們應該更多關注以下幾個方面：

4.1 關注基礎，重視本質

張奠宙教授曾經說過：“數學教學的有效性關鍵在于對數學本質的把握、揭示和體驗.”

在2017年浙江省數學高考試卷中，對知識的概念考查、對問題的本質考查貫穿于整張試卷，應該說是考查的重點.學生學習數學知識是從認識起步到理解、掌握，并在這個過程中逐漸清晰數學知識的本質，同時形成數學思想，培養數學思維[2].正如章建躍先生曾說過：“要讓學生養成‘回到概念去’思考和解決問題的習慣.”我們平時所說的中檔題目或者難題就是多個知識點進行交叉和互融的考核，因此，無論是新授課還是專題課的教學都應該從基礎出發，在平時的教學中要盡量留給學生足夠的時間讀題、審題，在這個過程中讀出若干個思維角度，審出題目的結構，理解問題的本質，這才是數學學習的根基所在.

4.2 強化通法，滲透巧法

高考是選拔性考試，既要保證考生在考場上走好尋常路，同時又要讓那些有創造性的考生能夠脫穎而出，因此在試題的設置上表現為“通性通法”重點考查.學生在考試的過程中，不同的學生對不同的知識理解是有差異的，數學素養比較高的學生會把多種通法綜合到一起，從而創造出含有“技巧性元素”的方法.因此，在平時的教學中，要求教師更加注重對知識的“通性通法”的教學.只要對問題解決的通性通法過關、熟練、高效，某些試題的技巧性方法自然就會應運而生.解決問題的通法就是把握數學的學科思維特征，遵循數學的思維特征看待問題、分析問題和解決問題.

4.3 加強探究，提升素養

解題是一種創造性的活動，是理論到實踐的過程.通過學生解題的過程可以發現：有一些題目的類似題或者原題已經教了許多遍，但是學生還是不能很好地掌握.因此，在教學中教師要敢于等待學生，陪伴學生重筑數學知識的形成之路，而不是在某些經典的知識點或者試題上“一滑而過”.正如波利亞曾形象地指出：“好問題同某些蘑菇有些相似，它們大都成堆的生長，找到一個之后，你應當在周圍再找一找，很可能就有幾個.”在學生的最近發展區設計有探究價值的題目，鼓勵學生參與其中，實現做中學、學中悟，從而實現學生數學素養的提升.

總之，2017年的浙江省數學高考試卷，打破了高考中的文科生和理科生的固定思維模式，開啟了文理合卷的新篇章，高考試題無論在考查學生的數學基礎知識方面，還是在學生駕馭知識的應用能力上都達到了選拔人才的效果，在數學試卷中更多地強調了每位考生必須具備的數學核心素養的考核，更加有利于高中數學教學的可持續性.正所謂素養本天成，向量妙顯之！

[1] 李學軍,曲文瑞.平凡真功顯 秒解素養現——由2017浙江省高中數學模擬卷17題說起[J].中學教研(數學),2017(4):39-41.

[2] 許欽彪.概念化教學是改進現代數學教學的有效途徑[J].中學教研(數學),2017(6):1-6.

O123.1

A

1003-6407(2017)10-29-04