從等差向等比類比

● (太湖中學(xué)，安徽 太湖 246400)

2017-07-08

李昭平(1963-)，男，安徽太湖人，安徽省特級教師.研究方向數(shù)學(xué)教育.

從等差向等比類比

●李昭平
(太湖中學(xué)，安徽 太湖 246400)

類比,通常是指由某類事物的特征類比出另一類事物的相應(yīng)特征的一種思維方式和解題思想.等差數(shù)列和等比數(shù)列之間聯(lián)系緊密、規(guī)律和諧、辯證統(tǒng)一，這些為等差向等比類比提供了保證.從等差數(shù)列的性質(zhì)、形式、條件、等式、解法可以類比出等比數(shù)列相應(yīng)的性質(zhì)、形式、條件、等式、解法等.

等差數(shù)列；類比；等比數(shù)列；邏輯證明

從等差向等比類比，往往融直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)于一體，能有效培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力、合情推理能力和探究證明能力[1].從等差數(shù)列的性質(zhì)可以類比出等比數(shù)列的性質(zhì)；從等差數(shù)列問題的結(jié)構(gòu)形式可以類比出等比數(shù)列問題的結(jié)構(gòu)形式；從等差數(shù)列的充要條件可以類比出等比數(shù)列的充要條件；從等差數(shù)列滿足的等式可以類比出等比數(shù)列所滿足的等式；從等差數(shù)列問題的解法可以類比出等比數(shù)列問題的解法.下面分享幾個類比結(jié)論，從中體會類比的魅力.

1 性質(zhì)類比

例1我們知道，若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對任意m∈N*,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差數(shù)列.類比到等比數(shù)列，則有：若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對任意m∈N*,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(其中Sm≠0)也成等比數(shù)列.

說明以上兩道題是大家熟悉的，均由等差數(shù)列的性質(zhì)類比出等比數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì).例1中要注意在等比數(shù)列中，必須滿足Sm≠0；例2的結(jié)論中“和差”變成了“積商”，這是由等比數(shù)列的本質(zhì)決定的.

2 形式類比

例3在等差數(shù)列{an}中，若a2+1,a4+3,a6+5成等比數(shù)列，則其公比是1.理由是：因為a2,a4,a6成等差數(shù)列，1,3,5也成等差數(shù)列，所以a2+1,a4+3,a6+5成等差數(shù)列.于是a2+1,a4+3,a6+5既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則為非零的常數(shù)列，故其公比是1.由此向等比數(shù)列類比，寫出一道試題，并解之.

分析類比題:在等比數(shù)列{an}中，若2a1,6a3,18a5成等差數(shù)列，則其公差是______．

事實上，因為a1,a3,a5成等比數(shù)列，2,6,18也成等比數(shù)列，所以2a1,6a3,18a5成等比數(shù)列.于是2a1,6a3,18a5既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列，則為非零的常數(shù)列，故其公差是0.

說明從形式類比，例2中等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可以一般化，即“在等差數(shù)列{an}中，若am+bk,ap+bs,aq+bt成等比數(shù)列，且am,ap,aq和bk,bs,bt均成等差數(shù)列，則其公比是1”和“在等比數(shù)列{an}中，若ambk,apbs,aqbt成等差數(shù)列，且am,ap,aq和bk,bs,bt均成等比數(shù)列，則其公差是0”[2].

例4在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等差數(shù)列，將這n+2個數(shù)的和記作Tn，再令an=10Tn，n≥1.

1)求數(shù)列{an}的通項公式；

2)由此向等比數(shù)列類比，寫出一道試題，并解之.

分析1)設(shè)t1,t2,…,tn+2構(gòu)成等差數(shù)列，其中t1=1,tn+2=100，則

因此

2)類比題：在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記作Tn，再令an=lgTn,n≥1.求數(shù)列{an}的通項公式.

事實上，設(shè)t1,t2,…,tn+2構(gòu)成等比數(shù)列，其中t1=1,tn+2=100，則

式(1)×式(2)并利用titn+3-i=t1tn+2=102(其中1≤i≤n+2),得

從而

an=lgTn=n+2,其中n∈N*.

說明從試題結(jié)構(gòu)形式上類比，即“遞增的等差數(shù)列變成遞增的等比數(shù)列”“n+2個數(shù)的和記作Tn變成n+2個數(shù)的乘積記作Tn”“再令an=10Tn變成再令an=lgTn”.

3 條件類比

例5設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,不難得到：數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N+,都有Sn=An2+Bn(其中A,B是常數(shù)).由此向等比數(shù)列類比，寫出結(jié)論，并證明之.

分析類比結(jié)論：設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項都不為0，且前n項和為Sn,則數(shù)列{an}為公比非1的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N+,都有Sn=kqn-k(其中k,q是非零的常數(shù)).

只證充分性(必要性易證，略去)：當(dāng)n≥2時，

an=Sn-Sn-1=(kqn-k)-(kqn-1-k)=

k(q-1)qn-1；

當(dāng)n=1時,

a1=S1=kq-k=k(q-1),

從而

an=k(q-1)qn-1,其中n∈N+.

因此{(lán)an}是等比數(shù)列.

說明從等差數(shù)列的和式充要條件類比到等比數(shù)列的和式充要條件.

例6設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項都不為0.我們能得到：{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N+,都有

此結(jié)論反映了等差數(shù)列概念的又一種表達(dá)方式.由此向等比數(shù)列類比，寫出結(jié)論，并證明之.

分析類比結(jié)論：設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項都為正數(shù)，則{an}為等比數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N+,都有

只證充分性(必要性易證，略去)：由

和

整體相除，得

即

同理可得

于是

而數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項都為正數(shù),從而

4 等式類比

例7在等差數(shù)列{an}中，若a2 018=0,則等式a1+a2+a3+…+an=a1+a2+a3+…+a4 035-n(其中n<4 035,n∈N*)成立.類比此等式，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b2 017=1,則有______成立.

分析因為a4 036-n+i+an-i=2a2 018=0(其中0≤i≤n-1),且

2(a4 036-n+a4 037-n+a4 038-n+…+an)=(a4 036-n+an)+(a4 037-n+an-1)+(a4 038-n+an-2)+…+(an+a4 036-n)=0,所以a4 036-n+a4 037-n+a4 038-n+…+an=0,

于是a1+a2+a3+…+an=a1+a2+a3+…+a4 035-n(其中n<4 035,n∈N*).

(b4 034-n·b4 035-n·b4 036-n·…·bn)2=(b4 034-n·b4 035-n·b4 036-n·…·bn)(bn·bn-1·bn-2·…·b4 034-n)=(b4 034-n·bn)(b4 036-n·bn-1)(b4 035-n·bn-2)·…·(bn·b4 034-n)=1,所以b4 034-n·b4 035-n·b4 036-n·…·bn=1,于是b1·b2·b3·…·bn=b1·b2·b3·…·b4 033-n(其中n<4 033,n∈N*).

說明從等差數(shù)列{an}滿足的等式類比到等比數(shù)列{bn}滿足的等式，充分運用an+am=ap+ap和bn·bm=bp·bq(其中n+m=p+q).

5 解法類比

例8在等差數(shù)列{an}中，對某些正整數(shù)s，t(其中s≠t),當(dāng)as=at時，{an}必是常數(shù)列.類比此結(jié)論，在等比數(shù)列{bn}中，對某些正整數(shù)s，t(其中s≠t),當(dāng)as=at時，{bn}也是常數(shù)列嗎？

當(dāng)s-r為奇數(shù)時，q=1，{bn}是常數(shù)列；當(dāng)s-r為偶數(shù)時，q=±1，{bn}是項的絕對值相等、相鄰項異號的非常數(shù)列.

說明從等差數(shù)列{an}的解法類比到等比數(shù)列{bn}的解法，獲得結(jié)論.

以上8個例題很好地展現(xiàn)了等差數(shù)列與等比數(shù)列在定義、通項、求和公式、基本性質(zhì)等方面的聯(lián)系和區(qū)別.利用兩者異同規(guī)律進(jìn)行類比,往往會得到兩種數(shù)列類似的結(jié)論.顯然在證明過程中，也充分運用了解決數(shù)列問題的一些重要思想方法(函數(shù)思想、整體相減、整體相加、整體相乘、整體相除等).需要注意的是，類比的結(jié)論不一定都正確，需要邏輯證明.這給我們的啟示是：類比是極好的研究性學(xué)習(xí)素材，關(guān)鍵在于教師要善于思考、善于發(fā)掘、善于研究、善于利用[3].

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2] 曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1999.

[3] 李昭平.通過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2011(4)：12-14.

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