探尋一道統(tǒng)測試題的前世今生
——函數(shù)專題復(fù)習(xí)之以值代參與零點控制

● (杭州市第十四中學(xué)，浙江 杭州 310006)

2017-07-02

顧予恒(1981-)，男，浙江杭州人，中學(xué)一級教師．研究方向數(shù)學(xué)教育．

探尋一道統(tǒng)測試題的前世今生
——函數(shù)專題復(fù)習(xí)之以值代參與零點控制

●顧予恒李紹塔
(杭州市第十四中學(xué)，浙江 杭州 310006)

高考復(fù)習(xí)不能僅是要把題目做出來，更要研究題目背后蘊含的深刻內(nèi)涵．文章以2017年浙江省杭州市二模試卷中的一道選擇題為例，探究題目本質(zhì)，追根溯源，探尋題目的前世今生，為高考函數(shù)內(nèi)容復(fù)習(xí)及加深函數(shù)本質(zhì)理解提供一種示范．

函數(shù)；對應(yīng)關(guān)系；以值代參；零點控制

在剛剛結(jié)束的2017年浙江省杭州市二模考試中，選擇題第9題引起了筆者的注意．學(xué)生的得分率不高，有的是通過線性規(guī)劃的方法把選擇題做成了大題，也有的是通過特殊值法猜出了答案，但對本題到底考查了什么內(nèi)容不甚明了．如果僅以選對答案為問題解決的終點，那么就辜負(fù)了命題人的一番良苦用心，不能更好地發(fā)揮題目的教育價值．

1 試題呈現(xiàn)

例1設(shè)f(x)=x2+ax+b的兩個零點為x1,x2，若|x1|+|x2|≤2，則

( )

A．|a|≥1 B．|b|≤1

C．|a+2b|≥2 D．|a+2b|≤2

(2017年浙江省杭州市第二次數(shù)學(xué)模擬考試第9題)

分析本題是一道與二次函數(shù)零點相關(guān)的問題，4個選項都值得好好揣摩！

筆者在試卷講評時設(shè)計了以下的問題讓學(xué)生思考．

思考1如何畫二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)的圖像？

有的說：給我確定的a,b的值，我就能把圖像確定下來．這位學(xué)生將系數(shù)a,b視作二次函數(shù)圖像變化的一組控制量.

思考2你能畫出一個滿足題干條件的二次函數(shù)圖像嗎？

有的說:我選取兩個滿足題干要求的零點，例如x1=0，x2=1,于是圖像也被唯一確定下來．這位學(xué)生將零點x1,x2視作控制函數(shù)圖像變化的一組控制量.

方法1由題意知x2+ax+b=0的兩根為x1,x2，且x1+x2=-a,x1x2=b.

對于選項A，|a|=|x1+x2|≤|x1|+|x2|≤2，

故選項A不正確．

方法2也可以把|x1|+|x2|≤2視為正方形的可行域，求目標(biāo)函數(shù)|b|=|x1x2|(面積意義)和目標(biāo)函數(shù)|a|=|x1+x2|(線性目標(biāo)函數(shù))的取值范圍(解答略).

評注無論是方法1還是方法2，都源于用函數(shù)零點x1,x2來表示參數(shù)a,b，本質(zhì)是在a,b與x1,x2間建立起對應(yīng)關(guān)系．

思考3除了零點，還有沒有其他可能的圖像控制量？

有學(xué)生提出：只要提供函數(shù)圖像上任意兩個點，就可以唯一畫出函數(shù)圖像了．如前面取的兩個零點是函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)，即(x1,0),(x2,0)是函數(shù)圖像上兩個特殊的點．

圖1

如圖1，畫出幾個臨界狀態(tài)圖，如f1(x)=x(x+2)，f2(x)=(x+1)2，f3(x)=(x-1)(x+1)，f4(x)=(x-1)2，f5(x)=x(x-2)．值得注意的是f(x)=x2+ax+b的開口大小已經(jīng)由二次項系數(shù)1決定了，即所有的圖像都與f(x)=x2“全等”．

由圖1可以發(fā)現(xiàn)

即

從而

故

|a+2b|∈[0,4].

至此豁然開朗，這道題的4個選項提供了研究函數(shù)問題的一種全新的視角．我們知道，函數(shù)最重要的本質(zhì)是映射(即對應(yīng)關(guān)系)，本題可以理解為目標(biāo)函數(shù)在定義域上求值域的問題，關(guān)鍵是將哪個量視為真正的變量，建立起何種對應(yīng)關(guān)系.解決此類問題既可以用函數(shù)值來代替參數(shù)式(以值代參)，也可以用零點關(guān)系來代替參數(shù)式(零點控制)，因題而異，靈活運用.

2 追根溯源

其實這樣的視角并非突然從天而降，追根溯源，可以找到眾多的前車之鑒．因此研究問題要看它的三生三世，下次遇見時才能十里桃花香．

例2[1]已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個零點，則3a+b的取值范圍是______．

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考測試卷第17題)

思考1)求3a+b的取值范圍——理解為函數(shù)求值域問題；2)變量是哪個：零點；3)對應(yīng)關(guān)系如何？

3a+b=x1x2-3(x1+x2)=

(3-x1)(3-x2)-9∈(-5,0)．

圖2

解法2事實上，3a+b=f(3)-9.如圖2，畫出臨界狀態(tài)的圖像，可知f(x)=x2與f(x)=(x-1)2為臨界狀態(tài)，此時4

3a+b∈(-5,0).

評注本題解法1用零點控制完成，最后一步的因式分解是學(xué)生們處理的難點，其實它并非從天而降，而是解法2中以值代參的體現(xiàn)．

例3若f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)在(0,1)內(nèi)有兩個零點，則a2-2b的取值范圍是______．

(2017年浙江省數(shù)學(xué)競賽試題第3題)

解記f(x)=(x-x1)(x-x2)(其中x1,x2∈(0,1))，則

因為x1∈(0,1)，x2∈(0,1),所以

評注這道最新的浙江省數(shù)學(xué)聯(lián)賽題，在非齊次的目標(biāo)式a2-2b與零點x1,x2間建立起了對應(yīng)關(guān)系．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考測試卷第15題)

思考a+b+2c可以視作關(guān)于什么變量的函數(shù)？

解因為f(0)=c，f(1)=a+b+c，所以

a+b+2c=f(0)+f(1).

由題意知

|f(x)|≤M(a,b,c)，

即

-M(a,b,c)≤f(x)≤M(a,b,c),

于是

a+b+2c=f(0)+f(1)≤2M(a,b,c)，

即

評注本題將a+b+2c視作由兩個函數(shù)值f(0)與f(1)一起控制的函數(shù)，要求具備良好的識別目標(biāo)函數(shù)的能力．

例5已知b,c∈R，二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c在(0,1)內(nèi)與x軸有兩個不同的交點，求c2+(1+b)c的取值范圍．

(2014年浙江省數(shù)學(xué)競賽試題第18題)

思考c2+(1+b)c可以視作關(guān)于什么變量的函數(shù)？

解因為f(0)=c，f(1)=1+b+c，所以

c2+(1+b)c=f(0)f(1).

設(shè)f(x)=(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2∈(0,1)且x1≠x2，則

c2+ (1+b)c=f(0)f(1)=

評注本題和例4如出一轍，與二次函數(shù)零點式、基本不等式一同考查，難度有所加大，但還是“原來的配方，熟悉的味道”．

3 觸類旁通

例6[2]設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，記M(a,b)為y=|f(x)|在[-1,1]上的最大值.

1)已知|a|≥2，求證：M≥2；

2)若M(a,b)≤2，請求出|a|+|b|的最大值．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

思考1)求|a|+|b|的最大值：函數(shù)問題；2)變量是哪個：對于x∈[-1,1]，所有的|f(x)|;3)對應(yīng)關(guān)系如何？

因為|a|≥2，即|f(1)-f(-1)|≥4,所以

2M≥|f(-1)|+|f(1)|≥|f(1)-f(-1)|≥4，

從而

M≥2.

2)一方面，

|a|+|b|= max{|a+b|,|a-b|}=

max{|f(1)-1|,|f(-1)-1|}≤

max{|f(1)|,|f(-1)|}+1≤

M(a,b)+1≤3,

另一方面，當(dāng)|a|=2,b=-1時，滿足M(a,b)=2,此時，|a|+|b|=3.

綜上所述，(|a|+|b|)max=3．

評注本題的反解表示，之前很多學(xué)生表示看起來都正確卻很難想到．如果從以值代參的角度來理解，那么就水到渠成了．

例7[2]設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點，若0≤b-2a≤1，求b的取值范圍．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題第2)小題)

分析本題可以從規(guī)劃視角、韋達定理等角度去解決，過程比較繁瑣.但如果用代換思想去解決，那么幾乎可以秒殺．

解令g(x)=ax+b,h(x)=-x2，則問題可轉(zhuǎn)化為g(x)與h(x)在[-1,1]上的圖像有交點．

注意到m=b-2a=g(-2)，則直線g(x)=ax+b過點P(-2,m)，其中0≤m≤1，即點P(-2,m)在線段AB上運動，如圖3所示，b的幾何意義是直線在y軸上的截距．

圖3 圖4

評注本題將函數(shù)的零點問題，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題去解決，特別關(guān)注題干中出現(xiàn)的參數(shù)式b-2a與要求的b的意義．

例8若f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)在[-1,1]上存在零點，且對任意的t∈[2,3]，0≤ta+b≤2，則b的取值范圍是______．

分析本題是2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題的改編題，關(guān)鍵在于對條件“對任意的t∈[2,3]總有0≤ta+b≤2”的理解．

圖5 圖6

評注本題對高考題的改編頗有新意，將點在線段上運動變?yōu)榫€段在矩形區(qū)域內(nèi)運動．若將條件再變化為“存在t∈[2,3]，0≤ta+b≤2，”那就與高考題無異了，有興趣的讀者可自行完成．

4 教學(xué)啟示

就教學(xué)內(nèi)容而言，用函數(shù)的觀點來解決問題，強化函數(shù)作為對應(yīng)關(guān)系的理解與應(yīng)用，是復(fù)習(xí)函數(shù)內(nèi)容的正確方式．筆者將求目標(biāo)參數(shù)式的取值范圍問題視為函數(shù)在固定區(qū)域上求值域的問題，而“以值代參”與零點控制的技巧都充分體現(xiàn)了函數(shù)的對應(yīng)思想．

高三復(fù)習(xí)與試題講解總是密不可分的．試題講解的第一步，首先是對每一道精彩試題的賞析，只有充分挖掘其內(nèi)涵和背景，才能發(fā)揮試題的最大價值．試題講解不能只求答案，要讓學(xué)生知其然，更要知其所以然，這樣才能通過講解少量的試題，就達到讓學(xué)生“做會一道，通曉一類”的目的．

實現(xiàn)這一目標(biāo)，要求廣大教師不斷加強研究，提高自身對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，在高觀點下審視數(shù)學(xué)問題，并通過對教學(xué)過程的有效設(shè)計和引導(dǎo)，幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識和解題技巧，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

[1] 李學(xué)軍，曲文瑞．平凡真功顯 妙解素養(yǎng)現(xiàn)——由2017浙江省高中數(shù)學(xué)模擬卷17題說起[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2017(4)：39-41．

[2] 數(shù)學(xué)高考研究組．浙江高考數(shù)學(xué)2004一路走來[M]．杭州：浙江大學(xué)出版社，2016．

O122

A

1003-6407(2017)10-17-04