數(shù)學(xué)教學(xué)要處理好4個(gè)關(guān)系
——“數(shù)學(xué)歸納法”一輪復(fù)習(xí)課引發(fā)的思考

● (靈璧第一中學(xué),安徽 靈璧 234200)

2017-06-12

鄭良(1980-)，男，安徽靈璧人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向數(shù)學(xué)教育.

數(shù)學(xué)教學(xué)要處理好4個(gè)關(guān)系
——“數(shù)學(xué)歸納法”一輪復(fù)習(xí)課引發(fā)的思考

●鄭良
(靈璧第一中學(xué),安徽 靈璧 234200)

文章以“數(shù)學(xué)歸納法”一輪復(fù)習(xí)課為載體，以即時(shí)所想為抓手，探索課堂教學(xué)如何把握“顯性與隱性”“形式與本質(zhì)”“發(fā)散與收斂”“繼承與發(fā)展”這4個(gè)關(guān)系.

數(shù)學(xué)歸納法；有效教學(xué)；遞推；探究

近日，筆者隨堂聽了幾位新教師題為“數(shù)學(xué)歸納法”的一輪復(fù)習(xí)課，他們對(duì)該部分內(nèi)容的處理大同小異，引發(fā)了筆者諸多思考.下面簡要回顧教學(xué)過程及聽課過程中的所思所想，結(jié)合自身實(shí)踐，給出教學(xué)思考.

1 教學(xué)過程回顧

1.1 復(fù)習(xí)回顧

教師先通過PPT展示高考對(duì)該內(nèi)容的要求(1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題)；然后以填空的形式與學(xué)生一起回顧數(shù)學(xué)歸納法的原理、證明步驟(含各步驟的基本功能)及使用時(shí)要注意的事項(xiàng)等；接著利用基礎(chǔ)自測(cè)題對(duì)學(xué)生進(jìn)行熱身練習(xí).

筆者在聽課中發(fā)現(xiàn)，不少教師進(jìn)行新授課(含優(yōu)質(zhì)課比賽)、復(fù)習(xí)課等課型教學(xué)時(shí)，通常先展示階段或高考對(duì)相關(guān)內(nèi)容的要求.通過交流，授課教師認(rèn)為此舉的作用能使學(xué)生知己知彼，有的放矢.教師展示教學(xué)目標(biāo)與高考要求是否有必要,是否是對(duì)教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)設(shè)計(jì)定位不準(zhǔn)的一種補(bǔ)償？教學(xué)是師生共同的創(chuàng)造性活動(dòng)，教師應(yīng)強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)、教學(xué)和學(xué)生的深入理解，精心設(shè)計(jì)教學(xué)，將教學(xué)內(nèi)容化顯為隱.通過實(shí)施教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生深刻感悟、體會(huì)教與學(xué)的要求層次，利用數(shù)學(xué)教與學(xué)的內(nèi)在力量實(shí)現(xiàn)對(duì)教學(xué)內(nèi)容、思想方法等的精準(zhǔn)定位.填空題的啟發(fā)提示作用明顯，每一題均對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行規(guī)定與約束，內(nèi)容回顧以填空的形式是否合適,采用思維導(dǎo)圖等形式是否更有效呢？

1.2 自測(cè)練習(xí)訓(xùn)練與講解(略)

1.3 例題選講

例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：

2) (n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(其中n∈N*).

通過該題，學(xué)生明晰了數(shù)學(xué)歸納法的步驟，尤其是關(guān)鍵的第二步——通過分析通項(xiàng)公式弄清等式兩邊的規(guī)律進(jìn)行合理“配湊”假設(shè).教師是否可以追問：數(shù)學(xué)歸納法是一種程序性操作方法，本題不用數(shù)學(xué)歸納法還能怎樣證明？請(qǐng)嘗試.

考慮到第1)小題中左邊各式的分母為等差數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的乘積，分子為常數(shù)，故可用裂項(xiàng)相消法求和(過程略)，這是學(xué)生所熟知的.第2)小題中右邊有2n，而左邊n個(gè)數(shù)無法保證每個(gè)數(shù)都提供2，故嘗試添數(shù)湊出n個(gè)偶數(shù)然后讓每個(gè)偶數(shù)都提供一個(gè)2，“借一還一”(割補(bǔ)法)使分式約分有序化、可操作化.即

例2若函數(shù)f(x)=x2-2x-3，定義數(shù)列{xn}如下：x1=2，xn+1是過點(diǎn)P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

1)證明：2≤xn

2)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.

(2012年全國數(shù)學(xué)高考大綱卷理科試題第22題)

即

x

圖1

且

如圖1所示，xn+1=g(xn)，從而

2≤x1

數(shù)學(xué)歸納法與上述利用遞推數(shù)列圖像的方法本質(zhì)相同，只是形式不同而已.前者將后者中兩個(gè)函數(shù)y=g(x)與y=x的大小關(guān)系通過作差轉(zhuǎn)化為y=f(x)與y=0的關(guān)系，遞推關(guān)系中“xn+1”作為g(x)關(guān)于xn的函數(shù)值，又作為g(x)關(guān)于xn+2的自變量，如何進(jìn)行角色轉(zhuǎn)換？通過y=x實(shí)施變換，這是遞推數(shù)列圖像的基本套路(在畫余弦函數(shù)時(shí)就利用此法將角的余弦線從水平“躺著”扶成豎直“站立”).已知遞推數(shù)列的首項(xiàng)與遞推關(guān)系就能確定該數(shù)列，因此可嘗試求出數(shù)列{xn+1}的通項(xiàng)公式.

從而

即

變式1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足(2t+1)(Sn+1-1)=(3t+4)Sn，a1=1，其中t>0.

1)若t為常數(shù)，證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列.

下面主要對(duì)第2)小題進(jìn)行分析：

從而

兩邊取倒數(shù)，得

1)求a1,a2,a3，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；

2)證明通項(xiàng)公式的正確性.

下面主要對(duì)第1)小題進(jìn)行分析：

教師總結(jié)“歸納—猜想—證明”類型問題的一般步驟：第1步，計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)或特殊情況，觀察規(guī)律猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或一般結(jié)論；第2步，驗(yàn)證一般結(jié)論對(duì)第一個(gè)值n0(其中n0∈N*)成立；第3步，假設(shè)n=k(其中k≥n0,n0∈N*)時(shí)結(jié)論成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立；第4步，下結(jié)論，由上可知結(jié)論對(duì)任意n≥n0(其中n∈N*)成立.

運(yùn)用“歸納—猜想—證明”問題時(shí)還需關(guān)注：1)歸納整理不到位得不到正確結(jié)果，從而給猜想造成困難;2)在不等式證明過程中，不能合理地運(yùn)用分析法、綜合法來求證,教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)盡可能通過多視角對(duì)同一問題進(jìn)行觀察、分析，發(fā)散思維，優(yōu)化解題過程.對(duì)于數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系式，一般常有兩種轉(zhuǎn)化思路：①消去Sn(保留an)得到關(guān)于an的遞推關(guān)系式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，直接求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②消去an(保留Sn)得到關(guān)于Sn的遞推關(guān)系式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，先求出Sn后再用公式

即

進(jìn)而

解法3同解法2得

得

下同解法2.

常數(shù)數(shù)列直接建立了數(shù)列的第n項(xiàng)與首項(xiàng)的關(guān)系，更易溝通條件與結(jié)論的聯(lián)系.

變式1在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(其中n∈N*,λ>0).

1)求a2,a3,a4；

2)猜想{an}的通項(xiàng)公式，并加以證明.

下面主要對(duì)第2)小題進(jìn)行分析：

解法1由第1)小題可猜想an=(n-1)λn+2n，用數(shù)學(xué)歸納法證明(略).

解法2由an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n得

故an=(n-1)λn+2n(其中n∈N*，λ>0).

1)當(dāng)n=1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小；

2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明.

下面主要對(duì)第2)小題進(jìn)行分析：

解法1由第1)小題可猜想f(n)≤g(n)，用數(shù)學(xué)歸納法證明(略).

故f(n)≤g(n)，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，等號(hào)成立.

綜上所述，對(duì)一切n∈N*，都有f(n)≤g(n).

解法4(積分法)當(dāng)n=1時(shí)，f(1)=1，g(1)=1，即當(dāng)n=1時(shí)，f(n)=g(n)；當(dāng)n≥2時(shí)，

綜上所述，對(duì)一切n∈N*，都有f(n)≤g(n).

2 教學(xué)思考

2.1 教學(xué)要處理好“顯性”與“隱性”的關(guān)系

課堂教學(xué)涉及教學(xué)方式、目標(biāo)、知識(shí)等的“顯性”與“隱性”，顯性與隱性是相對(duì)的.在三維教學(xué)目標(biāo)中，“知識(shí)與技能”目標(biāo)顯性，“過程與方法”和“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”目標(biāo)隱性，把握與落實(shí)相對(duì)困難，但高考中增加體現(xiàn)學(xué)科過程與方法以及情感、態(tài)度和價(jià)值觀的題目是大勢(shì)所趨.不同的處理方式，可以收獲不一樣的效果.

因此，在教學(xué)過程中，要盡可能地根據(jù)實(shí)際情況化有形到無形，內(nèi)蘊(yùn)其中，通過精心設(shè)計(jì)讓學(xué)生以顯性為抓手，總結(jié)提煉，以隱性促內(nèi)化，感悟升華.如例1的第2)小題使用了割補(bǔ)法，體現(xiàn)出“進(jìn)”與“退”辯證統(tǒng)一，培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維.又如教師讓學(xué)生在活動(dòng)中交流感受與收獲，更能激發(fā)學(xué)生的熱情與興趣，還可通過追問等方式設(shè)置懸念，持續(xù)地刺激學(xué)生的大腦皮層，從而提高教學(xué)的有效性.

2.2 教學(xué)要處理好“形式”與“本質(zhì)”的關(guān)系

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》明確指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展也表明，全盤形式化是不可能的，因此，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).”“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”是數(shù)學(xué)學(xué)科的自身訴求，使學(xué)生在適時(shí)適度“程序化”基礎(chǔ)上理解與掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確地使用形式化語言來表述數(shù)學(xué)內(nèi)容并解決數(shù)學(xué)問題的能力.

如例2及其變式的解題過程相同，其本質(zhì)是函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”知識(shí)；例4變式2的證法1～3形式不同，但本質(zhì)相同.在平時(shí)教學(xué)中，教師既不能一味“情境化”(過于直覺、感性)，也不能過度“抽象化”.只有兩條腿走路，學(xué)生才能走得穩(wěn)、走得快、走得遠(yuǎn)，體驗(yàn)與感悟到數(shù)學(xué)思維的理性精神.

2.3 教學(xué)要處理好“發(fā)散”與“收斂”的關(guān)系

教之道在于“度”，學(xué)之道在于“悟”.“度”的確不好把握，教師唯有深入理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生，才可能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中悟出些方法、悟出些思想，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.在教學(xué)中，教師面臨著預(yù)設(shè)與生成，講授知識(shí)與體驗(yàn)過程，教學(xué)過程“粗”與“細(xì)”，直覺思維與邏輯思維培養(yǎng)，教學(xué)與教研等諸多問題.教師要從研究中得到教學(xué)的“源頭活水”以提高專業(yè)素質(zhì)，清楚所傳的“道”，精通所傳的“業(yè)”，“深入淺出”地應(yīng)對(duì)學(xué)生的困惑.

教師如果不明晰例2及其變式的背景，變形能力弱，那么就無法應(yīng)對(duì)例4及其變式，只能照本宣科，這樣的教學(xué)既沒有高度，也沒有前瞻性，教學(xué)效果自然難以保證.

2.4 教學(xué)要處理好“繼承”與“發(fā)展”的關(guān)系

教學(xué)不應(yīng)只給學(xué)生提供“黃金”，更要給學(xué)生以“點(diǎn)金術(shù)”.傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育在夯實(shí)基礎(chǔ)方面積累了許多寶貴的經(jīng)驗(yàn)和優(yōu)良的做法，存在著創(chuàng)新不夠等問題.新課改以來，不少課堂教學(xué)一味地為了創(chuàng)新,而輕視了優(yōu)良傳統(tǒng)的繼承.沒有基礎(chǔ)知識(shí)與扎實(shí)的基本功,能力的培養(yǎng)只能是空中樓閣.創(chuàng)新的實(shí)質(zhì)說到底是要進(jìn)行能力的培養(yǎng)，而能力的培養(yǎng)必須在夯實(shí)基礎(chǔ)的前提下才可能實(shí)現(xiàn).

因此，我們必須兩手抓,既“繼承”優(yōu)良做法,也注重“創(chuàng)新”.在知識(shí)與能力方面,既注意夯實(shí),也注重在夯實(shí)基礎(chǔ)的前提下充分培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力.在數(shù)學(xué)教育中，不能離開能力去打基礎(chǔ),更不能拋開基礎(chǔ)去談能力.學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平是教學(xué)的基點(diǎn)，也是生長點(diǎn).生成只能在學(xué)生原有基礎(chǔ)上生成.教學(xué)中不能以教師的認(rèn)識(shí)來代替學(xué)生的認(rèn)識(shí)，對(duì)于同一個(gè)問題，教師與學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律是不一致的.郭思樂教授認(rèn)為，學(xué)生的認(rèn)識(shí)具有情感性,從具體到一般,以歸納思維為主；教師的認(rèn)識(shí)具有理智性,從一般到抽象,以演繹思維為主[1].“繼承”與“發(fā)展”的關(guān)系涉及教學(xué)的方方面面，如課堂上學(xué)生的獨(dú)立思考、合作交流可看成是學(xué)生課前自學(xué)的繼承，課后反思是課堂學(xué)習(xí)的發(fā)展.

在教學(xué)中，教師要基于學(xué)情，有的放矢，而不是事無巨細(xì)，平均用力.筆者聽課隨想的方法未必適合每個(gè)班級(jí)每位學(xué)生：一部分學(xué)生未必需要理解教師講授的全部方法；另一部分學(xué)生則不應(yīng)只限制于教師講授的方法，在掌握通性通法的基礎(chǔ)上還應(yīng)給出自己的獨(dú)特創(chuàng)見.

[1] 郭思樂.教育走向生本[M].北京：人民教育出版社，2001.

O122

A

1003-6407(2017)10-04-05