初中概念教學：根據概念的定義形式針對性地設計教學

● (寧波大學附屬學校，浙江 寧波 315000)

2017-07-08

鄔云德(1956-)，男，浙江奉化人，浙江省特級教師.研究方向數學教育.

初中概念教學：根據概念的定義形式針對性地設計教學

●鄔云德
(寧波大學附屬學校，浙江 寧波 315000)

數學概念的定義形式可分為白描、歸納和抽象這3種，根據概念的定義形式針對性地設計教學是概念教學所要遵循的基本規范．但目前有不少教師在概念教學中沒有按這個規范進行操作．鑒于此，文章介紹各種定義形式的概念的特征及其對應的認知過程．

數學概念；定義形式；認知過程

數學概念是反映現實世界的數量關系和空間形式的本質屬性的思維形式[1]．數學概念的定義形式大致可分為白描、歸納和抽象這3種．例如，畫出三角形，定義“這樣的圖形為三角形”為白描形式；畫出一些包括三角形在內的多邊形，定義“由三條邊構成的多邊形為三角形”為歸納形式；直接給出定義“由三條線段首尾相接所組成的平面圖形為三角形”為抽象形式[2].根據概念的定義形式針對性地設計教學是概念教學所要遵循的基本規范．但調研發現，目前有不少教師在概念教學中沒有按這個規范進行操作．鑒于此，筆者介紹各種定義形式的概念的特征及其對應的認知過程，供讀者參考、研究．

1 白描形式定義的概念的特征及其對應的認知過程

若所學概念的形式特征比較明顯，能從外形上直接觀察和識別，并且教學要求不高，或所學概念的本質特征比較抽象，學生還缺乏抽象其本質特征所需要的知識與經驗(例如，抽象拋物線的本質特征需要高中知識)，則可選擇用白描形式定義該概念．其對應的認知過程可用圖1表示．

圖1

案例1浙教版《數學》七年級上冊第4.2節“代數式”概念的教學設計．

1)問題：利用字母表示數，能把數和數量關系一般化地、簡明地表示出來．怎樣根據下列問題的條件列出算式？

2)操作：

①大米的單價為每千克a元，食油的單價為每千克b元．買10千克大米、2千克食油共需多少元？

②日平均氣溫是指一天中2：00,8：00,14:00,20:00這4個時刻氣溫的平均值．若上述4個時刻氣溫的攝氏度數分別是a,b,c,d,則日平均氣溫的攝氏度數是多少？

圖2

③一個五彩花圃的形狀如圖2所示，花圃的面積是多少？

3)觀察：上面我們所得到的算式和以前學過的算式有什么區別？

5)解釋：這里的運算是指加、減、乘、除、乘方和開方．單獨一個數或者一個字母也稱代數式．

6)應用：請解答下列問題．

問題1怎樣用代數式表示下列數量關系？

①x的3倍與3的差;

③a與b的和的平方;

④ 2a的立方根;

⑤v1,v2的和除s所得的商;

⑥x與1的差的平方根．

問題2已知甲數比乙數的2倍少1．設乙數為x，則怎樣用x的代數式來表示甲數？

問題3一輛汽車以80 km/h的速度行駛，從城A到城B需th．如果該車的行駛速度增加vkm/h，那么從城A到城B需多少時間？

問題4能舉一個用代數式3a+2b表示結果的實際問題的例子嗎？

7)反思：你在學習過程中對代數式有何感觸？你認為還應該繼續研究什么？

說明用白描形式定義概念其對應的學習方式是概念形成的方式，只不過其形式特征比較明顯，略去了歸納抽象的過程．用白描形式定義概念對概念的本質揭示不夠，彌補這個缺陷有兩種處理方法：一是在以白描的方式給出概念后，再對概念的數學本質作進一步的分析說明；二是像代數式的定義一樣，采用“白描+說明”的定義形式．教材中許多概念是用“白描+說明”的形式定義的．白描形式定義的概念其教學側重點應放在“操作”和“應用”上，使學生明確概念從哪里來和往何處去．

2 歸納形式定義的概念的特征及其對應的認知過程

若所學概念的本質特征比較抽象，但學生有抽象其本質特征所需要的知識與經驗，并想讓學生在概念學習過程中有更多的收獲，經歷更多的數學思考過程，則可選擇用歸納形式定義該概念．其對應的認知過程可用圖3表示．

圖3

案例2浙教版《數學》八年級下冊第2.1節“一元二次方程”概念的教學設計．

1)問題：我們知道，一元一次方程、二元一次方程(組)都是刻畫現實世界數量相等關系問題的有效模型．一元一次方程、二元一次方程(組)夠用了嗎？

2)操作：請大家根據下列問題中的條件列出方程．

圖4

①把面積為4 m2的一張紙分割成如圖4所示的正方形和長方形兩個部分，則正方形的邊長是多少？

若設正方形的邊長為xm,則x應滿足怎樣的方程？

②象山特產“高唐西瓜”進入了收獲期．據調查2015年收購價是3元/斤，2017年收購價是4元/斤．問：單價平均每年上升的百分率是多少？

若設單價平均每年上升的百分率為x，則x應滿足怎樣的方程？

圖5

若設B端將沿CB方向移動xm，則x應滿足怎樣的方程？

3)觀察：方程“x2+3x=4”與一元一次方程或二元一次方程相比有何差異？

5)表達：一般地，方程兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是二次的方程叫做一元二次方程．能使一元二次方程兩邊相等的未知數的值叫一元二次方程的解(或根)．由于任何一個關于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0的形式,我們把ax2+bx+c=0(其中a,b,c是已知數，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式．其中ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項和常數項，a，b分別稱為二次項系數和一次項系數．

6)應用：請解答下列問題．

問題1下列方程哪些是一元二次方程？

① 10x2=9；

② 2(x-1)=3x；

③ 2x2-3x-1=0；

⑤ 2xy-7=0；

⑥ 9x2=5-4x；

⑦ 4x2=5x；

⑧ 3t2+4=5t．

問題2表1中的空格處應填什么？

表1 一元二次方程

6)反思：在ax2+bx+c=0(其中a,b,c是已知數，且a≠0)中，為何要規定a≠0？為何不規定b和c也必須不為0？求二次項系數、一次項系數和常數項要經歷哪幾個步驟？你對一元二次方程有何感觸？

說明用歸納形式定義概念其對應的學習方式是概念形成的方式.由于其形式特征不太明顯，因此要經歷操作、觀察、歸納、抽象、表達等完整的認知過程．它是一種帶有較多發現性的學習方式，對發展學生的智力、能力和個性有積極影響．教材中大多數概念是用歸納方式定義的，旨在全面發揮數學概念的育人功能．歸納方式定義的概念其教學側重點應放在“操作觀察”“歸納抽象”上，以發展學生觀察、歸納、抽象的能力，積累多角度觀察事物特征的經驗，體會概念從哪里來等．

3 抽象形式定義的概念的特征及其對應的認知過程

根據奧蘇貝爾的概念獲得過程理論，數學概念的來源：一是來自于生活實例的數學抽象；二是數學自身邏輯的產物．若所學概念是數學自身邏輯的產物，特別是所學概念是已知概念的特殊情況，則可選擇用抽象形式定義該概念．其對應的認知過程可用圖6表示．

圖6

案例3浙教版《數學》八年級下冊第5.1節“矩形”概念的教學設計．

浙教版教材對矩形是這樣定義的：我們把有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．它屬于抽象的定義形式．根據圖6可將其教學過程設計如下.

1)問題：在數學中，當研究對象有多種情況時，經常要通過考察對象的特殊情況來加深對該對象的認識．平行四邊形的形狀、大小是千變萬化的(教師借助平行四邊形模型進行演示)，因此要通過考察平行四邊形的特殊情況來加深對平行四邊形的認識．平行四邊形有哪些情況比較特殊？

2)定義：我們把有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．

3)分析：矩形的本質特征是什么？矩形與平行四邊形、線段、直角三角形和生活中的矩形分別是怎樣的關系？

4)辨認：小學里學過的長方形和正方形是不是矩形？小學里學過的梯形呢？

5)強化：能舉幾個矩形的生活實例嗎？生活中為何經常采用矩形的結構？

6)反思：矩形是怎樣產生的？還可以怎樣產生？矩形有何用處？你對矩形有何感觸？

說明用抽象形式定義概念其對應的學習方式是概念同化的方式.它是一種帶有較多接受性的學習方式，其優點是教學效率高——通過演繹直接獲得概念；其缺點是抽象——它不是來源于現實，而是數學自身邏輯的產物．彌補其缺點的處理方法是：在以抽象的方式給出概念后，再對概念作進一步的分析與強化，以使學生明確概念的數學本質，理解概念與相關概念之間的關系，豐富概念的生活實例．教材對一些特殊圖形大多是用“抽象”方式定義的，旨在揭示概念之間的邏輯關系．抽象方式定義的概念其教學側重點應放在“分析”和“強化”上，以使學生把所學概念納入到相應的概念體系之中．不像試卷中的新定義概念，課堂教學中直接給出定義總有“天上掉下林妹妹”的感覺，為使思維過渡自然，像用白描形式定義的概念教學一樣，可以在給出定義之前，有一個簡單的導入或操作過程．

在中小學數學中，有許多概念既可以用白描形式定義，也可以用歸納形式定義，還可以用抽象形式定義，并且有些概念不同學段其定義形式也不同．選擇哪種定義形式主要取決于學生已有的知識與經驗和教師對學習目標的定位(年輕教師可以參考教材使用的定義形式).若學生有歸納抽象概念本質特征所需要的知識與經驗，并想全面發揮其育人功能，則可選擇用歸納形式定義概念并針對性地設計教學．盡管根據概念的定義形式針對性地設計教學是有效概念教學的重要標志，但還要發揮教師的主導作用(根據概念的特征和學生的實際情況確定合適的教學目標，通過選擇合適的問題來引發學生積極思考，通過適度的價值引導來促進學生的思維等)，要留給學生足夠的自主思考與實踐的時間和合作交流的機會，要合理評價學生在數學活動過程中的表現．按歸納形式定義概念并針對性地進行教學，有時會給按時完成教學任務帶來挑戰．解決這個問題的策略是運用課內外結合的方法——課前預習教師設計的具有“問題+指導”“閱讀+思考”“探究+反思”的導學案[3]．

[1] 羅增儒．數學概念的教學認識[J]．中學數學教學參考:中旬，2016(3)：1-4．

[2] 史寧中．數學教育的未來發展[J].數學教學,2014(1):1-3.

[3] 鄔云德．例談“先行組織者”教學方式及其成效[J]．中學教研(數學)，2012(11)：9-12．

O122

A

1003-6407(2017)10-01-04