高等數學中多元函數最值的幾種求法

梁娟

摘 要 多元函數的最值問題是高等數學的一個重要組成部分，但是很多教材對其求解并沒有給出系統的全面介紹，導致學生了解的很片面。針對這個問題，也為了幫助同學們有一個系統的認識，本文從多元連續函數在有界閉區域上的最值問題和求最值的應用題兩類進行討論，并對應用題中兩種常考的題型做了進一步的介紹。每個題型都給出解題思路，并通過具體的例題進行說明。

關鍵詞 多元函數 最值問題 最值定理 拉格朗日乘數法

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A

1前言

眾所周知，高等數學是一門工具性學科，也是各大高校的重要學科，同時也是學生認為最難學、掛科率相對較高的學科之一。函數的最值問題在高中數學里已有相關介紹，也是高考的一個考點。高等數學里介紹的函數最值問題包括兩類：一類是一元函數的最值，比較簡單，對學生來說沒有難度；另一類是多元函數的最值，雖然增加了新的解法，比一元函數的最值難度有所增加，但是同學們應付期末考試是沒有問題的。

對于多元函數的最值，幾乎所有教材都只是簡單的介紹了其中的一種或零散的介紹幾種求解方法，并沒有給出一個系統的全面介紹。很多課本在介紹多元函數最值的求法時，通常都說與一元函數相類似。這種模糊的說法，對于那些需要繼續深造的學生（比如：考研和參加數學競賽的學生），是遠遠不夠的。針對這個問題，也為了幫助同學們有一個系統的認識，我對求解多元函數最值的幾種方法做了總結。

我們知道，求一元連續函數f（x）在閉區間[a，b]上的最值：先求f（x）出在開區間（a，b）內的駐點和導數不存在的點，并計算它們的函數值；再計算端點a和b處的函數值，比較函數值的大小，其中最大者為f（x）在[a，b]上的最大值，最小者為在上的最小值。對于多元函數，根據最值定理：若f（x，y）是有界閉區域D上的連續函數，則必有最大值和最小值。這樣就保證了多元函數最值的存在性。而求解多元函數的最值分兩步：（1）計算出函數在所有駐點和不可導點的函數值；（2）求出區域D在邊界上的最大值和最小值，將這些函數值進行比較，找出最大和最小者，它們即為函數在區域D上的最大值和最小值。多元函數求最值，說起來簡單，實施起來要復雜的多。比如：函數求出的駐點和不可導點可能不止一個；區域D的邊界點有無窮多了，因此要求出其在邊界上的最值通常比較復雜和困難。下面對求解多元函數最值的方法給出總結。

2求多元連續函在有界閉區域上的最值

由于使函數f取得最值的點可能是：①f在D內部的駐點②在D的邊界上拉格朗日函數的駐點③D的邊界上的端點。因此先求出函數在上述所有點處的函數值，再比較它們的大小，其中最大者為函數在閉區域上的最大值，其中最小者為函數在閉區域上的最小值（對上述這些點的函數值，無須逐一討論取極大值還是取極小值或者不是極值）。

例1 求函數z=x2+y2xy在區域D：|x|+|y|≤2上的最大值與最小值

解 D在的內部：|x|+|y|<2，由

解得駐點P1（0，0）

在邊界上，構造拉格朗日函數

令解得拉格朗日函數的駐點。

同上，在邊界上，可求得相應的拉格朗日函數的駐點；在邊界上，可求得相應的拉格朗日函數的駐點；在邊界上，可求得相應的拉格朗日函數的駐點。

又記四個邊界線段的交點分別為，，，。

函數的最大值與最小值只能在上述9個點中取得，于是有

3求最值的應用題

此類問題利用轉化的思想，首先建立目標函數，將該問題轉化為第一類問題。而對于應用問題，根據實際問題的性質知道，函數f（x，y）的最大（小）值一定在區域D的內部取得，如果f（x，y）在D內只有一個駐點，即可斷定f（x，y）在D上的最大（小）值在該駐點處取得。常見的實際問題有以下兩種情形。

求函數z=f（x，y）滿足約束方程 （x，y）=0的最值

這種題有兩種解法：一是由 （x，y）=0解出y=y（x）（或x=xy）代入函數f（x，y）得到一元函數z（x）=f（x，y（x）），利用一元函數求最值的方法解決；二是利用拉格朗日乘數法。

例2 已知原料A的單價是10元，原料B的單價是20元，打算用1500元購買原料。假設A，B的數量x，y與由它們生產出的產品的數量P有如下關系式

P（x，y）=0.5x2y

問購進兩種原料各多少，可使生產的數量最多？最多數量是多少？

解法一 由題意知，10x+20y=1500，即y=

代入P（x，y）=0.5x2y，得到一元函數P（x）=37.5x20.25x3

問題轉化為求P（x）=37.5x20.25x3，（x>0）的最大值。

令P'x=75x0.75x2=0，解得x=100或x=0（舍去）

P（0）=0，P（100）=125000并且x>100時，P（x）是減函數。

所以，當x=100，y=25時，可使生產數量最多，最多數量為P=125000。

解法二 約束條件為10x+20y=1500，即10x+20y1500=0

構造拉格朗日函數F（x，y， ）=0.5x2y+ （10x+20y1500），

解得x=100，y=25。因駐點唯一，且實際問題中一定存在最大值，所以（100，25）為最大值點，即當x=100，y=25時，可使生產數量最多，最多數量為P（100，25）=0.5100225=125000

注意：1. 約束條件的形式，等號右端必須為0，不是0的要先化為0；

4求駐點時，關鍵是想辦法消去

求函數u=f（x，y，z）滿足約束方程 （x，y，z）=0的最值

這種題最好直接用拉格朗日乘數法。當然也可以由 （x，y，z）=0解出z=z（x，y）代入函數f（x，y，z）得到二元函數數u=f（x，y，z（x，y）），然后利用求二元函數無條件最值的方法解決。

例3 某工廠用木板制定一個容積為V的無蓋長方體盒子，問長、寬、高如何選取才能使木板最省？

解法一 設長方體盒子的長、寬、高分別為x，y，z，則表面積為S=xy+2xz+2yz

約束條件為，即V=xyz，即Vxyz=0

構造拉格朗日函數

解得。因駐點唯一，且實際問題中一定存在最小值，所以為最小值點，即當時，盒子用料最省，此時用料。

解法二 設長方體盒子的長、寬、高分別為x，y，z，則表面積為S=xy+2xz+2yz

且V=xyz

由于z=，代入S，得S=xy++

由題意知x>0，y>0，對x，y求偏導數，得

解得唯一駐點。該駐點也是最小值點，即當長、寬、高分別為時，盒子用料最省，此時用料。

5結束語

求解多元函數的最值問題，首先要弄清楚題目的類型，然后按照相應的解題思路和解題步驟求解。特別地，在用拉格朗日乘數法求解最值時，一定要注意約束條件的形式，這是很多學生容易出錯的地方；此外，在求拉格朗日函數駐點時，要先消去 ，再求出駐點。在教學實踐中，我發現很多學生在求駐點時，思路不明確，不知如何下手。以上是對多元函數最值的幾點介紹，希望學生在學習該部分知識時，可以有個系統的全面認識。

參考文獻

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