邁好從算術思維到代數思維的關鍵一步

陳為強

“用字母表示數”是小學數學代數教學內容的起始課，對于小學生來說，從具體的、確定的數過渡到用字母表示抽象的數、可變的數（即深刻理解字母既可以表示已知的數量，又可以表示未知的數量；字母既可以表示確定的數量，又可以表示變化的數量；含有字母的式子既可以表示結果，又可以表示關系），這是認識上的一次重大轉折，更是認識上的一次飛躍。因此教師要深度挖掘“用字母表示數”的數學意蘊，幫助學生經歷從具體到抽象，理解從確定到可變，從關注結果到關注關系，邁好從算術思維到代數思維的關鍵一步。

一、感受字母“表示” 運用的廣泛性

字母在生活中有著廣泛的運用，因此要從學生生活經驗入手，使其感受到字母在生活中的運用具有廣泛性，明確生活中“用字母表示”的更多特點是簡潔性。上課伊始，教師詢問學生是否知道“KFC”店面圖片代表的意思。學生回答“KFC”是“肯德基”的標志。教師緊接著問車牌“蘇C 01765”和英語單詞centimeter和kilogram中英文各代表什么意思？學生指出車牌中“C”特指江蘇省徐州市，而對于另外兩個單詞表示的意思不清楚。教師指出centimeter縮寫為cm，代表長度單位厘米后，學生馬上猜測Kilogram的縮寫是Kg，代表質量單位千克。教師肯定學生的推測后，追問為什么在生活中大家喜歡使用字母來表示。教師在學生發言的基礎上總結用字母表示含義比較固定，書寫簡潔方便。字母在現實生活中被廣泛使用，這是學生的現實基礎，但教師要明確這里的字母有時會賦予其 特定的數值或內涵，如撲克牌中的英文字母；有時字母被看作一個具體對象的速記，如“KFC”表示“肯德基”；有時被看作一個單位名稱的縮寫，如“kg”“km”等。生活中字母表示的內涵往往是固定的、約定俗成的，凸顯更多的是字母表示的方便簡潔，落腳點更多是“表示”。

二、感悟字母表示“數”的概括性

基于學情和對新知識學習障礙的理性分析，教師選擇了最樸素、最簡單的材料作為教具（白、黃、藍粉筆盒各一個，粉筆若干），以便于學生能直面數的狀態，體悟字母表示“數”的形成過程以及其豐富的內涵。在接下來的教學中，教師取出一個白粉筆盒，兩次分別放入2支和5支粉筆，學生明確粉筆支數分別用數字2和5來表示。教師接著隱蔽裝進若干支粉筆，并讓學生說明現在盒中粉筆支數。學生提出幾種猜想，但不能確定。教師追問：大家前兩次意見比較統一，為什么這次無法確定？學生指出前兩次他們看見了粉筆盒中放入粉筆的支數，這次放入粉筆的支數沒讓看到，所以無法確定。教師：既然有那么多種可能，為什么沒有同學猜測盒子中有200支粉筆呢？學生闡釋：因為粉筆盒的容量有限，根本裝不下。教師追問：盡管盒中粉筆支數無法確定，但有一定的范圍，它又該怎樣表示？學生們有的說用“？”表示，有的建議用“□”表示，還有的主張用字母“a”來表示。教師借勢而導：這幾種方法都能表示無法確定的數量，如何表示它，數學的發展經過了上千年，大家猜想數學家最終會選用什么方法？學生統一意見——用字母表示。教師：對于不能確定的數可以用字母表示（老師在此粉筆盒上寫上a），這里的a可以代表哪些數，用a來表示有什么優勢？學生踴躍表達：字母a代表的數很多，包括粉筆盒中能裝下粉筆的支數，它能把多種情況全部囊括，尤其當數目不能確定時，用它更合適。教師再追問：粉筆支數a與長度單位cm都用字母表示，有何不同？學生明確字母a表示粉筆的支數，是一個在一定范圍內不確定的數，除了可用字母a表示之外，還可用其他字母表示；用cm表示的是厘米這個長度單位，是一種簡寫，并且單位名稱的縮寫往往是固定的。教師順勢總結這里面用字母表示的是數，一個不確定的數。

由于粉筆盒不帶有情境因素，因而很快就將學生的思考聚焦到數的表示上，當學生看見教師向粉筆盒放粉筆時，數是確定的、唯一的，可以用數字來表示數；當學生看不到放入粉筆的支數時，用數字就無法表示不確定的數，從而產生一種表征不確定的數的需要，這樣用字母表示數像呼吸一樣自然產生，讓學生體驗到用字母表示數的必要性和概括性，完成字母表示數從“個”到“類”的提升。同時在粉筆盒容量的大小中，教師也幫助學生理解字母表示的數有時候是有一定范圍的。通過生活中的用字母表示和粉筆盒中粉筆的支數用字母表示這兩類字母內涵的對比，學生在交流中感悟到它們內涵本質的不同，明晰用字母表示的數是不確定的、是未知的，是一種對特定數的描述，其根本在于數，數發生變化了，所以表示數的方法也跟著發生變化，學生在順應中實現用數字表示確定數到用字母表示不確定數的轉變，符號意識得到培養，代數意識開始萌芽。

三、體悟“字母式”表示的優越性

通過直抵數學本質的操作和思維碰撞，學生感悟到用字母表示數中的數的變化，領悟“用字母表示數”外延的豐富性，但學生常常對字母式與字母在表示數的優、缺點上理解的不深刻，不能感悟出字母表達式對于關系、結構的關照，教師可讓學生在對比中體會字母式表示的優越性。教師拿出一個放了粉筆的黃色粉筆盒問，這盒內粉筆的支數又該如何表示？一生主張用字母a表示，另一生反駁：白粉筆盒中粉筆的支數已用字母a表示了，此處不能再用a表示了，否則就區別不出a代表哪盒粉筆的支數，粉筆盒不同，粉筆支數也不一定相同，可以用其余字母來表示。通過爭辯學生明晰兩個盒中的粉筆支數可能不同，最好用不同字母表示。（教師在黃色粉筆盒上標注字母b。）教師問：用a和b分別表示白色、黃色粉筆盒中粉筆的支數，如果再增加一個信息，黃粉筆盒比白粉筆盒多3支，那么a、b大小之間的關系能確定嗎？能舉例嗎？學生說明：比如a小于b，表示如果白粉筆盒中有10支，那么黃粉筆盒的支數就是13支。教師趁勢追問：這位同學使用了一組關聯詞語，它有什么好處？學生回答：使用“如果……就……”關聯詞的好處是如果a確定，b也隨之確定，如果a發生變化，b也隨之發生變化，但是黃粉筆盒比白粉盒多的支數沒有變化——還是3支。

上述教學，既及時鞏固了學生用剛剛學到的知識解決新問題——用字母表示黃粉筆盒中粉筆的支數，同時又補充條件，將兩盒中粉筆的支數進行溝聯，溝通兩個數量之間的關系，確定了兩個數量之間的特定關聯性。通過學生列舉數據，將靜止的數學變得思維涌動，將學生孤立、靜止的認識引向全面和運動，在列舉數據的過程中學生體悟到一個數量變化，另一個數量相應地隨之變化，但保持不變是這兩個數量之間的差，代數思維中的函數思想得到了初步滲透。endprint

用含有字母的代數式既能表示兩個數量之間的關系，也能表示運算結果，比較而言，后者學生理解起來比較困難，于是教師這樣教學。教師：大家剛舉了許多例子，老師也想舉一個，你能猜出來嗎？學生表示有多種可能，不能保證一定猜對。教師：大家猜不出我的例子，但我卻能“猜出”你們所有人舉的例子（板書a+3），大家隨意舉例驗證是否正確？（學生舉例驗證。）教師追問：現在黃粉筆盒中的粉筆數有了兩種表示方法b和a+3，哪種方法更好？為什么？師引導學生體會用a+3表示的優勢，不僅看出黃粉筆盒中粉筆的支數比白粉筆盒中的支數多3支，而且還知道只要明確a的數量，就能求出黃粉筆盒中粉筆的支數，逐步感悟出a+3不僅能表示出兩盒粉筆中支數的關系，還能表示黃粉筆盒中粉筆的數量，如果用b來表示，則無法確定a與b之間的大小關系。教師歸納字母式不僅能表示兩個數量的關系，還可以表示黃粉筆盒中粉筆的支數。

上述教學環節中學生依據教師增補的條件輕松地舉例，而這些例子為學生下一步的對比和感悟提供了材料。教師一句“你們猜不出我的例子，但我卻能‘猜出你們所有人舉的例子”激起學生的認知興趣，也激發新知識學習的需求。而用a+3這一簡單的字母表達式與學生之前例舉的大量例子形成強烈的對比，使學生感受到字母表達式形式上的簡約性和外延的豐富性，感悟到字母表達式的優勢與內涵，而a+3本身，既表示兩個數作加法運算，又表示a+3的結果，學生在此過程中經歷了“縮略”代數形成的過程，體悟到雖然字母表示的是未知的、不確定的數，但含有字母的式子，卻能較好反映兩個數量之間特有的關聯性，表示出對數量關系的一種確定。學生深層次明晰a+3本身既可以看作運算過程，又可以看作運算結果，初步了解到代數思維既包括過程性，又體現了結構性的特征。

四、體驗“字母”表示的相對性

從用字母表示確定的數到用字母表示不確定的數是學生代數思維的第一次提升，引導學生用含有字母的式子表示數量關系，從關注結果到關注結構，實現了代數思維的第二次提升，但如果僅僅到此為止，學生代數意識的培養還是有所欠缺，為了充分打破學生算術思維的藩籬，教師可引領學生感悟 “用字母表示數”的相對性，樹立辯證意識和標準意識，如此學生才能觸摸到代數思維的本質，感受代數思維內在文化特質，領悟其特有的理性精神。教師特意這樣教學：白粉筆盒的粉筆支數為a，黃粉筆盒的粉筆的支數為a+3，現在還有一個藍粉筆盒的支數為a-1，那么黃色和藍色兩個粉筆盒中粉筆的支數有什么關系？學生推測藍色比黃色盒中粉筆的支數少4支。教師設問：如果藍盒粉筆支數為a，那么另外兩盒中粉筆的支數呢？學生推測若藍盒粉筆的支數為a，那白盒粉筆的支數為a+1，黃盒粉筆的支數為a+4。教師引導學生辨析同樣是黃盒粉筆的支數，為何有時用a+3表示，有時用a+4來表示？學生發現a表示的數目不同，所以表示黃盒的支數也就不同，但三個盒子中粉筆支數之間的相差關系是無法改變的。上述教學主要滲透了標準不同，造成表示同一個事物數量的算式也不同，引導學生注意到用字母表示數還要關注標準量這一要素，巧妙樹立標準量的意識，同時在變化中尋找不變，相機滲透辯證思想。

五、明確字母“乘法”運算簡寫的合理性

對“數與字母、字母與字母相乘，乘號可以省略”這一規定性的內容，教師要深挖教材，引導學生理解這一規定存在的合理性，理解任何數學規定都有其背后的道理，培養其質疑能力，發展其理性觀念。在本節課課尾，教師引導學生質疑：大家通過數學閱讀已知“數與字母、字母與字母相乘，乘號可以省略”這一規定，對于這一規定你有什么疑問嗎？一位學生不明白為什么“數與字母、字母與字母相乘，乘號可以省略，其他運算卻不能省略？”教師啟發：學貴有疑，想一想是什么原因？另一生指出：可以舉例如5÷a，5-a，5+a，如果也把運算符號省略的話，都寫成5a這一形式，反過來我們碰到5a時，就不能辨別5a代表是哪種運算。又一生補充：如果把數字與數字之間的乘號省略也會出現問題，例如6×6，如果中間的乘號省略，就變成了66，與兩位數66就混為一談了，看來“數與字母、字母與字母相乘，乘號可以省略”這樣的數學規定是有一定道理的，既能達到簡寫的目的，又能避免出現混淆現象。在這個教學片段中，學生質疑，自我釋疑，通過火熱的思考感悟到數學規定不是冷冰冰的，而是存在著“脈脈溫情”，教師引導學生明晰這樣規定的道理，也就是我們常說的讓學生不僅知其然，還要知其所以然，感悟數學是講“理”的，當學生明白其中隱藏道理后，才能夠把知識看清、看明、看透。在一定意義上說，唯有學生對于知識“入木三分”地理解，才能對于知識“入骨三分”地掌握。

[責任編輯：陳國慶]endprint