基于高中生視角談數學函數的解題技巧

鄭凱文

摘 要：概述了高中數學中與函數相關的考點，包括基本概念，特征分析，圖像運用，復合函數和抽象函數。舉例分析了應對低中高三種不同難度的題型的解題方法，其基本要素在于吃透概念、邏輯清晰和巧用發散思維。最后對解題技巧做了更詳細的論述，指出不同技巧的提出原理和應用場景。

關鍵詞：高中數學 函數問題 解題技巧

一、考點概述

高中階段關于函數內容主要考察的知識點包括：對函數基本概念的理解，比如函數的定義以及特定函數定義域、值域和表達式；對函數特征的辨識，比如單調性、周期性、奇偶性、極值點；對函數圖像的繪制和運用，利用圖像進行解題；初等函數的基本性質和復合函數的分析技巧；還有比較有難度的抽象函數等。這些考點構成了高中函數題的絕大部分，除此之外，是將函數與諸如數列、不等式等考點結合起來考察，題型更加靈活，求解要求更高。[1]

學會解題和分析技巧的第一步，便是明確可能要考察的知識點，只有洞察了考點，才能隨機應變，準確解題。[2]

二、例題解析

1.吃透概念解簡單題

從考卷整體得分的角度來看，在對基本概念理解透徹的基礎上，應盡量在一些簡單題中做到百分百拿分。[3]

（1）例：已知函數，求其值域。

解：這道題函數的表達式并不復雜，可以用導數法求出單調性，然后求出值域，但過程較為繁瑣，其實還有更加簡便快捷的方法，那就是將原函數取倒數 ，這時會發現形式上的變化帶來了新的求解思路，利用基本不等式可簡化求解。

當時，可化簡為，因此。

當時，。綜上，原函數值域為 。

（2）例：已知有偶函數和奇函數，滿足條件 ，試求和各自的表達式。

解：這是一道較為常規的利用奇偶性求表達式的題目，一般解法是用代替方程中的，這里也不例外。改寫原方程得，又根據和各自的奇偶性有，；

所以有，再和原方程聯立，相當于解二元一次方程組，得，。

2.邏輯清晰解中等題

中等題的考點多于簡單題，通常具有連貫性，解題時需步步為營，不留遺漏。

例：已知函數，其中為正數，求該函數在上的單調區間。

解：這道題主要考察的是對函數求導以判斷單調性，而函數本身有待定系數，因此解答重點在于分類討論，避免漏解。

首先對原函數求導得，不妨先求單增區間。令，因為有且，所以可以等效為，這里看作一個含有待定系數的一元二次不等式，其中 ，求解時必須分類討論。

當時，此時，那么恒成立，所以此時單增區間為。

當時，僅在處取到零，其余均大于零，因此單增區間仍為。

當時，解得或。此時應當注意，不能直接下結論判斷單增區間，因為題目要求，需要判斷與0的大小關系，這里可以運用韋達定理得，，所以有，單增區間為 。

以上便求完了單增區間，此時再令，即，根據之前的求解，可知只有在時不等式有解，為。

這道題整體難度并不大，但對理解解題所需要的邏輯性和完整性有很大幫助，解題過程環環相扣，銜接緊密，在此基礎上如果使用更復雜的形式并引入更多的可變參數，則可進一步提高難度。

3.發散思維解困難題

通常考試最后的幾道大題較有難度，考點也不限于某一大類，函數、數列、不等式、甚至是向量，都有可能交叉在一起考察，這個時候發散思維很重要。

（1）已知有

在時該式恒成立，又有方程的解為

那么

比較上式中左右兩邊的系數，可以發現。根據上述規律，如果有方程，其根為：，那么可以將用表示為。

這道題的考點比較特殊，也不是常規題型，考察的是觀察、比較、猜想和推理的能力。雖然不是一道很難的大題，但是作為填空題來說，第一眼看上去還是有點唬人。解題的關鍵在于冷靜分析題目中所給的條件，親自動手驗證已給的結論，找到其中的判斷規律，然后再將其延伸到進一步的求解中。

（2）例：已知函數，有兩個實數，試證明

證明：這道題僅從代數的角度來看，似乎難以證明，但是將不等式形式改寫為 后，容易聯想到距離的表達式，因此這里巧用向量的轉換來證明代數不等式。

根據題目，構造兩個向量，由于，那么這兩個向量必然不共線，且有。根據向量知識中的距離不等式，僅在共線時等號成立，所以有，即。

三、技巧總結

上一節在解析例題的同時簡要說明了解題技巧，這一節做更加詳細的論述。

1.掌握考點和出題點之間的聯系

考點和出題點看似是一回事，實則不然，兩者并非一一對應。考點是以結論的形式展現，出題點以問題的形式展現，同一個考點有不同的出題角度，而一個出題點所對應的考點也不是唯一的。因此除了掌握考點外，還需掌握理解考點和出題點的關系，才能在解題時做出足夠快速的反應。

2.解題時思路清晰，邏輯完整

作者的數學老師曾經在課堂上說過，高中數學和初中數學最大的不同點在于高中數學對思維量的要求明顯提高。所謂思維量，最重要的體現在于邏輯性和完整性，除了特別簡單的填空選擇，其余大部分函數題都不可能一步到位，因此保證解題的邏輯性和完整性是應對大部分題型的必備方法。

3.巧用發散思維創新解題

難題的難點不僅在于計算，還在于思路的不尋常，這種情況下，發散性思維是解出難題的基本保證。要運用發散性思維，往往要對已知條件仔細觀察，嘗試不同的變化，才能最終找到引申的考點和解法。

結語

函數是高中數學中最重要的考點之一，其考察內容豐富，考題層次性明顯，并且在一張試卷中幾乎總會出現低中高三種難度的函數考題。因此，在掌握基本知識點的基礎上，對三種難度的題型一一擊破，是值得優先選擇的策略。作者根據自身實際經驗，分享了應對方法和解題技巧，既可用于啟發當前的學習，又為未來在大學進一步的深造夯實了基礎。

參考文獻

[1]劉佳. 解析導數與函數[J]. 教育教學論壇，2014，（01）：166-167.

[2]許諾. 關于高中數學函數解題思路多元化的方法舉例探索[J]. 科學大眾（科學教育），2016，（02）：25.

[3]李瑛，郭嘯. 高中函數問題的數學解題要素與解題能力探究[J]. 開封教育學院學報，2013，（03）：212-213.endprint