換元法在高中數學解題中的運用

張博

摘要：簡要介紹了換元法的相關理論，包括基本概念、一般分類和使用方法。從不同題型的實例出發，解析了三種換元法在函數、不等式和三角問題中的用法。最后總結了三點運用技巧，除了掌握常規換元方法和仔細分析題目條件外，還需特別注意換元時的等效條件。

關鍵詞：高中數學 換元法 等效替代

一、換元法概述

所謂換元法，就是將題目中原有的一部分變量用一個新的變量來替代，通過換元，通常可以起到簡化形式、縮減變量的效果。常用的換元方式有三種：一是整體換元，比如將關于x的表達式f（x）整體換元為t，再用t表示其他的關于x的表達式；二是利用的關系，對一些具有相似形式的表達式做三角換元，比如可將中的替換為，；三是均值換元，當可以確切求出兩個變量的和時，便可使用均值換元，比如，那么可以做均值換元，。無論是哪種換元，換元后都是對新的中間變量或進行運算，在求出中間變量的結果后，再求原變量的取值。從這樣的解題思路可以看出，換元時保證等效變換是十分重要的，尤其是定義域的轉變，只有保證變換是等效的，才能保證計算結果是等效的。[1]

二、例題解析

1.函數題

例：已知有函數，試求其值域。

解：根據根號下函數有意義的要求，可以知道，這一類題型一般的求解思路是求出導數，根據導數找出單調性，然后比較兩個端點和可能有的極值點的大小關系來求出值域。但這道題的函數中有兩個帶根號的表達式，求導后形式復雜，計算繁瑣，因此可以考慮利用三角函數換元以做簡化。[2]

觀察函數表達式，可以改寫為，由于有，因此可以設，，注意原函數的定義域，這里等效變換時。然后原函數可化為，，這樣就很容易地得到原函數值域為。

2.不等式題

例：已知不等式，無論x取何值，該不等式均成立，試求出k的取值范圍。

解：這道題從考點來看，并不復雜，是一個一元二次不等式恒成立的問題。可以借助形如的二次函數的性質進行求解，要求總有，則必然有，。但這道題的復雜之處在于三個系數為關于k的對數形式，如果直接帶入根的判別式將很難計算，因此這里就需要先做換元，簡化系數表達形式，待求出中間變量取值范圍后，再求k的范圍。

此處選擇整體換元法，需要根據題中變量的形式合理選擇被換元的部分。觀察三個系數，發現底數均為2，且都含有k與k+1這兩項，因此可設，那么另外兩個系數可以表示為：

在將系數換元簡化后，帶入原不等式，就得到，不等式對所有x都成立的條件則可表示為，，聯立解得，即，解得。

3.三角問題

例：已知一個三角形三個內角A、B、C滿足A+C=2B，且，求的大小。

解：三角形三個內角A、B、C是本題中的未知變量，已知條件有A+C=2B，，以及A+B+C=180°，目標表達式中含有兩個未知變量A和C，基本解題思路應當是根據已知條件做初步的推導分析，將目標表達式改寫成用已知變量表達的形式，才能最終求解。

根據A+C=2B和A+B+C=180°可以求出A+C=120°，B =60°，這時可以利用均值換元法，設A=60°+α，C=60°-α，且有，那么第二個條件可改寫成：

由此解得

那么。

三、技巧歸納

1.掌握常規換元方法

從例題中可以看出，不同的換元方法有其一般性的對應形式，尤其是三角換元。因此對于普通難度的題目，重點在于熟練掌握常規的換元規律，做到快速反應，迅速解題。[3]

2.善于觀察題目形式

在一些難度較高的題型當中，題目所給條件具有隱藏性，這時就需要對題目的條件做梳理分析，尋找可以進行換元的突破點。值得注意的是，題型難度大小并不影響使用換元的基本條件，因此對條件進行初步的解算和分析有助于打開后面的思路，不必因為一眼看不出來就放棄換元法。

3.注意等效條件

換元前后的等效性，是換元法正確運用的基本保證，但也是容易被粗心忽略的地方。無論題型如何，難度如何，都需要時刻牢記這一點。

結語

換元法是高中數學解題中的經典方法，在多種題型中均有應用。本文通過對換元法的概念解析和例題總結，使知識更加系統化。類似的方法也可用于其他解題方法的歸納，相信這樣的工作對提升解題能力大有幫助。

參考文獻

[1]高桂華. 淺談換元法在高中數學中的應用[J]. 中國校外教育，2011，（S1）：57.

[2]王永德. 高中數學中換元法的幾種方式[J]. 甘肅聯合大學學報（自然科學版），2011，（S2）：82-84.

[3]和洪云. “換元法”在數學解題中的應用[J]. 大理學院學報，2011，（04）：17-20+29.endprint