有效點撥：數學課堂生成智慧的金鑰匙

石高安

[摘 要] 學生在課堂上學習數學過程中，常常會出現這樣的情況：由于思維受阻，一時難以下手. 這樣，需要教師用簡練、精辟的語言啟迪思維，促使學生產生“頓悟”，謂之“點撥”. 有效的“點撥”必須做到適時、適度、靈活且富有啟迪. 如何實行有效“點撥”呢？筆者的思考是點撥難點，引導學生攻克疑難；點撥方法，引導學生舉一反三；點撥思路，引導學生反思探究，由此啟動學生思維，促進學生在數學課堂中生成智慧.

[關鍵詞] 點撥；難點；方法；思路；智慧

豈知灌頂有醍醐，能使清涼頭不熱.

——唐·顧況《行路難》

學生在數學課堂的學習過程中，經常會遇到這樣的情況：解答一個數學題，由于各種各樣的原因導致思維受阻，一時難以下手. 有的問題對于有的學生可能會突發靈感，產生“頓悟”，使得問題得以迅速解決，但更多的問題對于更多的學生，需要數學教師用簡練、精辟的語言來啟迪思維，促使學生產生“頓悟”，這個過程就是數學教學中常講的“點撥”. “點撥”是教師讓學生走出學習數學困惑的有效手段，也是數學課堂教學的一種藝術. 一個數學教師行之有效的“點撥”，既要做到適時、適度，同時也要做到靈活且富有啟迪. 然而，在我們數學教師中，有一部分教師追求方法的新穎，但不注意實際成效，如有的教師采用提問法的，有問有答，上下呼應；有的教師采用討論法的，學生發言爭先恐后，課堂熱熱鬧鬧，氣氛十分活躍. 由于學生之間交流的信息零碎并且量大，將教師向學生輸入的系統的信息淹沒了，因此，多數學生收獲甚少. 如何實行有效“點撥”呢？筆者所思考的是點撥難點，引導學生攻克疑難；點撥方法，引導學生舉一反三；點撥思路，引導學生反思探究. 由此啟動學生的思維，促進學生在數學課堂中生成智慧.

有效點撥難點，引導學生攻克疑難，促進數學課堂生成智慧

數學教學的難點是學生學習數學難于掌握的數學知識點，也包括數學思想方法等，這是學生數學認識水平與抽象復雜的數學知識之間的矛盾. 數學教師分析學習數學的難點在何處，研究其形成的原因，從而有針對性地進行點撥，可以起到化難為易的作用.

案例1：一位教師關于求與一元二次方程有關的最值題的點撥.

已知m，n是關于x的一元二次方程4x2+4kx+k+2=0的兩個實根，若m2+n2能夠取得最小值，求實數k的值，并求此時的最小值.

教師首先給學生自主解答，然后讓學生展示.

生：由一元二次方程根與系數的關系得：m+n=-k，mn= ，所以m2+n2=（m+n）2-2mn=（-k）2- =k- 2- . 當k= 時，m2+n2取得最小值- .

師：這個結果錯了.

生（很驚訝地）：在哪里發生錯誤呢？

面對一個個學生的驚奇，這位教師并沒有及時去挑明，而是想方設法引導學生自我反思、自我發現.

師：m2+n2的值與k的取值是否有關系？k的不同取值對這個一元二次方程是否有實根產生怎樣的影響？

學生經教師這一點撥，茅塞頓開，馬上發現了自己錯誤的原因是沒有考慮m，n是方程實數根這一隱含條件， 必須有Δ≥0，從而得16k2-16（k+2）≥0，即k≤-1或k≥2，因此k≠ . 正確的結果是當k=-1時，m2+n2的最小值為 .

有效點撥方法，引導學生舉一反三，促進數學課堂生成智慧

《普通高中數學課程標準》指出，數學教學要堅持以人為本，以學生的發展為本，讓不同的學生在數學上得到不同的發展. 不同的學生，其接收、領悟能力有強有弱，數學教師在點撥時必須做到“四性”：一是點撥要循序漸進，應由淺入深，體現漸進性；二是點撥既要照顧到全體，又要照顧到個別，讓優等生“吃飽”，讓中差生“吃好”，體現層次性；三是點撥要讓學生積極思維，而不是生硬說教，體現啟發性；四是點撥要簡明準確，讓它起到畫龍點睛的作用，體現明確性. 點撥恰當，學生才能學得生動，教師教得輕松，教學質量大面積提高.

案例2：一位教師關于一道數列題的求解點撥.

已知等差數列{an}中，a3=5，a8=20，求a20.

一部分學生特別是一部分女學生往往根據等差數列的通項公式求解：根據題意，得a1+2d=5，a1+7d=20，解得a1=-1，d=3，所以a20=a1+19d=-1+19×3=56.

這一部分學生解完后，挺有成就感，就等待數學教師出下一題. 因此，數學教師適時點撥：

師：剛才在下面巡視時，有同學告訴我此解法有些繁，請同學們再思考一下，有沒有簡單方法解這道題？

一石激起千層浪，學生們一個個探究起來，有的合作學習小組竊竊私語，可是還有一些學生想不出更好的方法，教師進一步點撥.

師：我們能不能用函數方程的思想來觀察、研究等差數列的通項公式？

生：噢！我知道了，等差數列的通項公式一般是關于項數的一次函數……

于是，學生得到解法2：

設an=αn+β. 依題意，得3α+β=5，8α+β=20.解得α=3，β=20.所以an=3n-4，所以a20=3×20-4=56.

對于學生得到的解法2，教師給予了肯定與激勵. 此時，另一位學生提出，解法2與前面一種方法比較，未見得簡單多少，為此，教師繼續點撥.

師：在研究等差數列性質時，得到一個求等差數列公差的公式d= ，請大家再思考一下，能不能從這里入手，探討一下解法3.

許多學生經過一番討論，探究得到下面的解法：

d= =3，所以a20=a8+（20-8）d=56.

其實，解法3對心算能力強的學生來說，不用筆算也可以得到答案.

最后，數學教師作評價性點撥：

師：第一種解法雖然有些繁，但這是通法，屬于基本能力要求；第二種解法的思維較靈活，體現的是函數思想求解，體現了對數學思想方法的掌握與應用；第三種解法必須對等差數列的性質掌握得比較好，此種解法，對心算能力強的學生不用筆算也可以得到答案，屬于對數學知識的融會貫通.

案例3：已知點M在拋物線y2=px上，且M到A（4，2）的距離與M到x軸的距離之和最小，求點M的坐標.

不少學生易設點M的坐標為（a，b），再做下去一部分學生感到茫然，一些合作小組也解決不了. 這時教師可點撥：透過“點M到x軸的距離”這個現象，看到“點M到準線的距離”這個本質，由拋物線的定義，可知M到準線的距離等于M到焦點的距離，到此學生茅塞頓開.

有效點撥思路，引導學生反思探究，促進數學課堂生成智慧

很多時候，面對一個個數學問題，不少學生只會簡單地通過模仿例題來運用定理、法則與公式，而當問題的條件發生變化時，就不懂得變通. 故在數學課堂上，教師可在引申變換（變式）、數學思想、方法、技巧上加以點撥，通過借題發揮，由此及彼，由表及里，舉一反三，就會事半功倍，這樣能起到促進學生思維發散、創新的作用.

案例4：一位教師關于恒成立及有解問題的教學變式點撥.

已知函數f（x）=8x2+16x+p，g（x）=2x3+5x2+4x（其中p∈R）.對？坌x∈[-3，3]，都有f（x）≤f（x）成立，求p的取值范圍.

師生討論分析得到解法：

令h（x）=g（x）- f（x）=2x3-3x2-12x-p，問題轉換為x∈[-3，3]時，h（x）≥0恒成立，故h（x）min≥0，m≤-45.

平時，不少學生做這一類恒成立題，常常與存在類問題和最大值、最小值混淆不清，為此，這位教師對題目作了這樣的變式點撥：

師：若“對？坌x∈[-3，3]”改成“？堝x∈[-3，3]”，其余不變，如何求p的取值范圍？

師生再討論分析得到解法：

轉化為x∈[-3，3]時，h（x）≥0有解，故h（x）max≥0，m≤7.

師：若“對？坌x∈[-3，3]”改成“對？坌x1，x2∈[-3，3]”，其余條件不變，如何求p的取值范圍？

師生討論分析得到解法：轉化為x∈[-3，3]時， f（x）max≤g（x）min？圳120+p≤-21？圳p≤-141.

數學教師在以上數學問題的設計點撥中，針對一些似是而非的問題，編擬變式題組進行專項訓練，讓學生真正弄懂這些形同質異、形異質同題的解答思路與方法，喚醒那些學困生的創造思維與求知欲，以發揮變式題組的教育功效.

“點撥”，“點”就要一“點”就通，就是要點石成金；“撥”就要拔除故障，撥暗為明，撥云見日. 點撥既是一種方法、一種策略，更是一種理念、一門藝術. 在數學教學過程中，教師智慧的點撥引導，可以激發學生的學習興趣，使學生疑竇大開、智慧閃爍，讓數學課堂充滿生機與活力.