“函數的單調性”教學設計

吳小寒　項友杰

摘要：《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：“高中數學課程應倡導自主探索等學習數學的方式，這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的‘再創造過程。”要求學生“理解基本的數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊涵的數學思想和方法，以及它們在后續學習中的作用。”建構主義數學觀認為，教學設計要根據學生原有知識和思維習慣設計數學活動，創設情境，讓學生實現意義建構。

關鍵詞：高中數學；函數；教學設計

一、【教材分析】

《函數單調性》在此之前，學生已學習了函數的概念、定義域、值域及表示法，這為過渡到本節的學習起著鋪墊作用。本節內容是高中數學中相當重要的一個基礎知識點，是研究和討論初等函數有關性質的基礎。掌握本節內容不僅為今后的函數學習打下理論基礎，還有利于培養學生的抽象思維能力，及分析問題和解決問題的能力。

二、【教學目標】

知識與技能：理解函數單調性和單調函數的意義；會判斷和證明簡單函數的單調性。

過程與方法：培養從概念出發，進一步研究其性質的意識及能力；體會感悟數形結合、分類討論的數學思想。

情感態度與價值觀：培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；

三、【重點難點】

重點：函數單調性概念的理解及應用。

難點：增、減函數形式化定義的形成及利用函數單調性的定義證明簡單函數的單調性。關鍵：增函數與減函數的概念的理解。

四、【教法分析】

通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性。在形成概念的過程中，緊扣概念中的關鍵語句，注重加強“數”與“形”的結合，由直觀到抽象、由特殊到一般的數學思維能力的培養始終貫穿數單調性概念教學過程中.

五、【學法分析】在教學整個過程中，學生主動參與、積極思考、探索嘗試；培養自主學習的能力和以嚴謹的態度研究問題的習慣。

六、【教學過程設計】

第一個教學環節：創設情景引入新課

觀察下列各個函數的圖象，并說說它們分別反映了相應函數的哪些變化特征嗎？

教師要引導，借助于對圖像的觀察，及時指出本節課重點討論圖像的升降性，由圖像的升降性所表現出的函數的性質就是函數的單調性-----板書課題函數的單調性

第二個教學環節：推進新課，研探新知

知識探究（一）探究定義形成過程

1.借助圖象，直觀感知

問題1：畫出一次函數f（x）=x及二次函數f（x）=x2的圖像，說說隨著x的增大，圖像的升降情況

問題2：對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中是怎樣描述的？

回憶初中對函數單調性的解釋：

（形）圖象呈逐漸上升趨勢（數）數值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢數值y隨x的增大而減小。函數這種性質稱為函數的單調性。

2.探究規律，理性認識

問題3：如何從解析式的角度說明在為增函數？

引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析，引導在給定的區間內任意取兩個自變量.

3.歸納總結，形成概念

問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎？

（1）板書定義引導學生找出定義中的關鍵詞：定義域內的某個區間----自變量的任意兩個值-----都有

4：如何定義單調減函數呢？可以通過類比的方法由學生給出。

知識探究（二）概念升華

判斷題：下列說法是否正確，請畫圖或舉例來說明理由

①.

②對于區間（a，b）的某三個值x1，x2，x3，當x1

③因為函數在區間上都是減函數，所以在上是減函數.

通過判斷題強調：①單調性是對定義域內某個區間而言的②函數在定義域內的兩個區間A，B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數.同時指出單調性是函數的“局部”性質

環節三：鞏固概念、運用概念

類型一借助圖像求函數的單調區間

例1、如圖是定義在區間[-5，5]上的函數y=f（x），根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？

變式1：作出函數y=︳x︳的圖象，寫出單調區間。

類型二證明函數的單調性

例2、物理學中的玻意耳定律P=（k為正常數）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減少時，壓強P將增大。試用函數的單調性證明之。

學生分組討論并讓兩個學生代表分別對這兩小題加以分析。 引導學生歸納函數在某個區間上是單調函數的證明方法和步驟：取值→作差→變形→定號。

環節四、歸納小結，提高認識

[設計意圖]在方法層面上，引導學生回顧判斷，證明函數單調性的方法和步驟；引導學生體會探究過程中用到的思想方法和思維方法，如數形結合，等價轉化，類比等

七、【教學反思】

以上各個環節，環環相扣，層層深入，整個設計注意調動學生自主探究與合作交流，努力創設一個探索數學的學習環境，通過設計一系列問題，使學生在探究問題的過程中，親身經歷數學概念的發生與發展過程，從而逐步把握概念的實質內涵，深入理解概念。

作者簡介：

吳小寒（1981年—），男，漢族，湖北襄陽人，中教一級，大學本科，山東省微山縣第一中學，研究方向：數學教育理論與實踐；

項友杰（1980年—），女，漢族，山東濟寧人，中教一級，大學本科，山東省微山縣第一中學，研究方向：數學教育與實踐。