淺談初中數(shù)學中的半角模型

劉曉燕

摘要：近幾年的各地中考試卷中逐漸涌現(xiàn)出由同一類”基本模型”延伸而來的試題，這些試題雖各不相同，但解決問題的方法、策略相通.這就勢必要求教師通過研究試題來挖掘并提煉各類”基本模型”，從而抓住學生思維”生長點”，尋求思維”延伸點”，追求思維”發(fā)散點”。本文以一道45°角的幾何題型為例，來探究其中隱含的“半角模型”的知識，以達到鍛煉學生思維的目的。

關(guān)鍵詞：正方形；半角模型；初中數(shù)學

一、原題呈現(xiàn)

例題：如圖在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD CD，BC=CD=2AD，E是CD上一點，

）

A.3

B.2

C.2.5

D.1.5

1.考查知識點：本題主要考察銳角三角函數(shù)的定義，直角三角形，全等三角形等知識的綜合應用，以及讀圖、構(gòu)造基本圖形的能力。

2.題目來源：本題是由“人教版九年級上冊數(shù)學第23章旋轉(zhuǎn)的60頁的例題”改編而來.在2012年福建省南平市中考數(shù)學試卷第10題中出現(xiàn)過類似題型。

3.難點關(guān)鍵：添加輔助線構(gòu)造直角三角形及全等三角形是本題的難點，關(guān)鍵步驟是作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合解答。

二、解題思路分析

解題思路：本題考查學生讀圖的能力，以及構(gòu)造課本旋轉(zhuǎn)例題的基本模型。想到這點，學生才會過點B作BF//DC交DA延長線于F，易得四邊形BCDF是正方形，把ABCE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到ABFG，（當然此處也可以在DF的延長線上截取GF=CE，證明AGBFEBC），進而得出ABAGABAE，把

三、試題拓展及變式

本題是由“人教版九年級上冊數(shù)學第23章旋轉(zhuǎn)的60頁的例題”改編而來.

例：如圖1，E是正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把AADE順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.（如圖2）

1.當正方形偶遇美麗的半角45。

如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，對其做加法，添加一個LEAF=45°，我們可以利用圖2全等旋轉(zhuǎn)的知識，得到圖4，則DE=BE.易得AAEF=AAEF，則EF=EF，從而可以證明：EF=BF+DE.

2.全等旋轉(zhuǎn)模型

在圖3的基礎(chǔ)上，對其做“減法”，剪去一角，得到圖5，當點F是BC的中點時，就與今天說題的題型是一樣的，我們?nèi)匀豢梢缘玫絫an

3.正方形半角模型中的勾股定理

當我們利用圖3，對其再做“減法”，如圖6，沿正方形的對角線BD切割一半，得等腰直角AABD，就可以得到正方形的半角模型，當AE、AF分別交BD于M、N，此時利用圖2全等旋轉(zhuǎn)模型構(gòu)造圖7，則可證PB=DM，/_PBN=90°，易得AAMN=APN，所以PN=MN，進而我們可以得到MN2=BN2+DM2.

4.三角彤中隱含的正方彤半角模型

當我們利用圖4，對其做“減法”：問題背景：如圖8，在AAEF中，

如圖9，我們可以運用全等旋轉(zhuǎn)法把AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AADE，過點D作DC～BF交EF的延長線于點c，連接EF易得四邊形AB-CD是正方形，AFE=AFE，則EF=EF=，設(shè)AB=X，則EF=EF=7，CF=x-4，CE=X-3，在RtAECF中，利用勾股定理求解

總結(jié)：從以上這些題目中我們可以發(fā)現(xiàn)，課本中的正方形旋轉(zhuǎn)基本模型是正方形半角模型的基礎(chǔ)，當出現(xiàn)45°角，加上垂直的條件時，可以考慮運用正方形的半角模型進行嘗試解題。也體現(xiàn)課本知識的重要性，基本模型的重要性。

5.當矩形偶遇美麗的半角45。

當我們?nèi)匀槐Ａ?0°的半角45°，把邊的條件弱化，把正方形改為矩形時，可以運用前面的半角模型進行解題嗎？

如圖10所示，在矩形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，且

方法一：如圖11，運用全等旋轉(zhuǎn)大法把ABF旋轉(zhuǎn)至ABF.連接EF.易得AAFE=AAFE，則EF=EF.再構(gòu)造矩形FBDM，，設(shè)CE=CF=x，則EF=EF=√2x，MF=1，ME=17-2x，在Rt EMF中利用勾股定理求解得EF=5√2，

方法二：如圖12，分別延長AD，AB，DF得等腰直角AAMN，即為正方形的半角模型，由前面的圖6可得EF2=NF2+ME2，設(shè)CE=CF=x，則EF=√2x，NF=√2（9-x），ME=√2（8-x），利用勾股定理有關(guān)知識即可得出EF=5√2.

總結(jié)：當把正方形改為矩形，邊的條件弱化了，但是我們?nèi)匀豢梢赃\用旋轉(zhuǎn)模型和正方形半角模型進行求解，解題思路相同。

總結(jié)：當我們把角的條件弱化，變得更為一般，如圖16，當

四、思想方法分析

這些半角模型的題型，滲透了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想等數(shù)學思想方法，啟發(fā)了學生構(gòu)造基本圖形，培養(yǎng)圖形識別和觀察能力，而且有效地考查了學生對知識的遷移、重組能力，能充分展現(xiàn)學生的學習能力和應用能力。

五、反思與感悟

一葉知秋，題海不是解決問題的最好方法，如果能夠深入研究我們的典型題和一些基本的數(shù)學模型，像以上這種一題多變的題例，如果我們都能這樣的深入觀察、分析、解決、反思，那必能達到以一當十，以少勝多的效果，相信所有的題目都萬變不離其宗——就如此題，尤其在教學中讓學生明白基本模型的重要性。