課改理念下“勾股定理復習”教學探究

劉兆明

摘要：新課改理念提倡“自主、合作、探究”的教學模式，時下轟轟烈烈的教學改革各出新招，細心探究其實質還是圍繞“減負提質”而組織教學。

“勾股定理”是研究三角形的重要定理，它滲透了從代數的角度去研究幾何圖形的數形結合思想，給我們提供了研究數學的思想和方法，因此，教學中結合新的課改理念對勾股定理復習教學進行了探索：

關鍵詞：勾股定理 教學設想 教學探究 反思評價

G633.6

教學設計與探究：

一、根據學生課前查找資料，收集本章中的錯題后，設計歸納自主訓練題型：

例1： 在Rt 中，a=8㎝，b=10㎝， ，求第三邊長c.

例2： 已知 中，三邊長a、b、c為整數，其中a=3㎝，b=4㎝，求第三邊c的長.

例3 ： 判斷下列三條線斷能否構成直角三角形：a=3、b=4、c=5.

例4：已知三角形的三邊長為5、12、13，試說明三角形是直角三角形.

例5： 在Rt 中，已知兩邊長為3、4，求第三邊的長.

二、學生交流、展示：

教師在巡視過程中發現的問題讓學生展示在各組的黑板上

例1： 在Rt 中，a=8㎝，b=10㎝， ，求第三邊長c.

錯解：由勾股定理，得： ，

.所以第三邊長為 ㎝.

分析：本題解法中錯在沒有正確運用題中所給的條件，忽視了 ，由于 ，所以b應為斜邊，而不是c.

正解：因為 ， ， ，

，故第三邊長為 6㎝.

學法指導：注意分清直角邊和斜邊

例2： 已知 中，三邊長a、b、c為整數，其中a=3㎝，b=4㎝，求第三邊c的長.

錯解： 由勾股定理，得 ， ， （㎝）.

分析： 勾股定理使的條件必須是在直角三角形中，本題解法是受“勾3股4弦5 ”的影響，錯把 當成直角三角形，導致錯誤的使用勾股定理.

正解： 由三角形三邊關系可得： ， ，又c為整數， C的長應為2㎝、3㎝、4㎝、5㎝或6㎝.

學法指導：注意定理的應用條件

例3： 判斷下列三條線斷能否構成直角三角形：a=3、b=4、c=5.

錯解： ，即 ，所以根據勾股定理可知，a、b、c能構成直角三角形.

分析：本題錯在在解題依據上混淆了定理和逆定理的條件結論，勾股定理是由“形”推得“數”，而逆定理則是由“數”推得“形”.因此不可混用.

正解： ，即 ，由勾股定理逆定理可知，三條線段能構成直角三角形.

學法指導：注意定理和逆定理的區別

例4 已知三角形的三邊長為5、12、13，試說明三角形是直角三角形.

錯解：因為直角邊是5和12，斜邊是13 ，所以 ，故三角形是直角三角形.

分析：解法中錯在一開始就明示了“直角邊”和“斜邊”，事實上只有在三角形是直角三角形的條件下才能稱其為“直角邊”、“斜邊”.

正解： ，滿足 ，由由勾股定理逆定理可知， 三角形是直角三角形.

學法指導：注意解題語言敘述

例5 ： 在Rt 中，已知兩邊長為3、4，求第三邊的長.

錯解： 因為 是直角三角形， 的第三邊長為 .

分析： 本題錯在只考慮3、4為直角邊的可能，而忽視了4也可以作為斜邊的情況，因此須分類討論.

正解：（1） 若4為直角邊，則第三邊的長為 ；

（2） 若4為斜邊， 則第三邊的長為 .故第三邊長為5或 .

學法指導：注意分類討論

三、能力提升、交流討論

例6：已知在 中，AB=4，AC=3，BC邊上的高等于2.4，求 的周長.

例7：已知在Rt 中，兩直角邊的長為20和15， ，求BD的長.

學生解答：

例6：已知在 中，AB=4，AC=3，BC邊上的高等于2.4，求 的周長.

錯解：如圖1所示，

由勾股定理，得 ，

， .

的周長為 .

討論分析：上面解法中，只考慮了三角形的高在三角形內部的情況，忽視了高在形外的情況，即當 是鈍角三角形時.因此須分類討論.

正解：由勾股定理，得 ， .

（1）： 若 是銳角（如圖1），則 ，這時 的周為

；

（2）：若 是鈍角（如圖2），

則 ，這時 的周長為 .所以 的周長為12或 .

例7：已知在Rt 中，兩直角邊的長為20和15， ，求BD的長.

錯解： 如圖3所示，

由題意根據勾股定理，得 ，又由面積法可得

，

，在Rt 中，由勾股定理得BD= .

討論分析： 本題錯在只考慮了AB的長是20的可能，忽視了AC的長也可能為20的情況.因此須分兩種情況求解.

正解： 由題意根據勾股定理，得 ，又由面積法可得 ， .

（1） 當AB=20時，如圖3，BD= .

（2） 當AC=20時，如圖4，

BD= .

所以BD的長為16或9 .

四、課外拓展

例8：已知拋物線 的圖象如圖所示，點 為拋物線的頂點，直線 上有兩個動點 和 ，且滿足 ，在直線 下方的拋物線上存在點 ，使 為等腰直角三角形，則點 的坐標為____________________________.

五、通過復習談收獲

總之，應用勾股定理解題時的錯誤多種多樣，但最根本原因是對定理不熟悉或理解不深刻造成的，為避免上述錯誤，大家一定要加強基礎知識復習和訓練，在正確理解的基礎上強化練習，不斷提高自己.endprint