“一題多解”在高中數學教學中的應用

楊靜梅?オ?

摘要：

“一題多解”在當下高中數學教學中占據著重要的地位，能夠培養學生的思維能力和提高學習效果。“一題多解”具有廣泛的應用性，本文在我國新一輪基礎教育課程改革的背景下，選擇了“一題多解”的變式教學方式為研究對象，對高中數學教學中的各個環節中“一題多解”的應用進行研究。介紹了“一題多解”在新授課中情境創設、公式推導、例題講解和練習中的應用，使用具體例子對所述觀點加以論證并利用變式對例題加以變換，進行變式教學。本文有利于教師更加深入了的了解“一題多解”在教學環節中應用的方式和好處，為教師提供初步的指導和參考。

關鍵詞：高中數學教學；“一題多解”；變式教學

1引言

隨著教育體制的不斷進步和改革，教育的目的和教學方式都是為了提高學生的綜合素質。在高中課程改革的過程中，不斷滲透著讓學生在學習過程中在教師的引導下“再創造”、“再發現”的理念。隨高中新課程改革的推進和實施，教育部門對高中數學課堂的有效性要求越來越高。因為數學是一個完整性與復雜性相統一的學科，因此學生在學習的過程中便會存在很多困難，所以在教學中應該注重培養學生靈活解題的思維能力做到“一題多解”變式解答，讓學生在學習中慢慢體會到學習的樂趣，從而提高學習數學的積極性和學習成績。

在目前高中數學教學中，教師教學依舊沒有脫離“題海戰術”的教學方法，通過讓學生課后做大量的習題來提高學生解決問題的能力。大量的問題解決訓練確實可以提高學生的數學能力和基本概念的掌握，但大量的訓練可能使學生對數學學習產生疲勞感，數學思維變得局限。為了改變這種現狀，采用“一題多解”的教學方法在高中數學教學中是非常必要的。

1.1提出問題

數學教學，是在做好充足全方位備課后對學生進行思維引導，在講解數學題時必須有一個總思想，那怎樣通過“一題多解”設計一堂完整的數學課的各個教學環節來提高學生的成績及思維能力呢？本文在相關文獻的基礎上對這一問題進行了系統的闡述。

1.2“一題多解”的概念

“掌握數學就意味著善于解題”─波利亞。解題是數學教學的一個重要內容，它不僅可以推進數學認知的過程，也可以培養學生的思維能力。“一題多解”是常用的教學模式，也可以說是在教學理論中的“問題變式”

。“一題多解”就是從不同的角度解決同一問題的不同方法。“一題多解”包含的概念、定理、性質和方法較單一，而方法卻靈活多變。因此，“一題多解”不但能鍛煉解題的基本技能，而且可以更有效的發展邏輯思維，提高全面分析問題和解決問題的能力。

2“一題多解”在高中數學新授課教學中的應用

隨著新課改的進行，高中數學教學所提倡的教學模式為：創設情境—問題探究—新課講解—例題講解—鞏固提升。在新課講授的時候，教師應該根據學生的認知結構以及現有的知識水平，將原有知識作為構建新知識的基礎，再利用“一題多解”的變式教學方法讓學生牢固掌握所學知識，而不是通過題海戰術來強化知識，不然只會適得其反。以下根據教學過程中各環節應用到的“一題多解”進行闡述。

2.1情境創設中的“一題多解”

新知識來源于問題的發現，因此在創設情景時應該注重問題懸疑的設置從發現問題入手，從學生身邊常見的情景入手，創設與學生實際相關的情境引導學生進入問題探究性學習，使新知識和以前學習知識之間有一個很好的過度.在教學中，巧妙的利用情境設置合理的問題，使之能夠吸引學生的興趣，在遵循新大綱的基礎上，關注學生的最近發展區，設置一系列合理的變式情景問題，讓學生在所創設的情境中，由原有知識經驗中挖掘出與新知識相關的舊知識點，新舊知識的碰撞激起學生的求知欲。這樣通過這一系列合理的問題設置，讓學生產生好奇心“為什么？”和“怎么辦？”。這樣在這節課的開始學生就能感受到精彩，為后續的學習奠定了一個好的開始。

【案例1】在“充分條件與必要條件”的教學過程中考慮到高一學生已有的知識經驗的欠缺，利用日常生活中事件創設問題情境來提出課題的問題，并讓學生利用原有的知識分析，事件中的幾個問題，為后面定義的分析做鋪墊。

事件1：“小明媽媽要做一件襯衫，需用布料便到布店去買，問老板應該買多少？老板說買3米便足夠了。”于是，有了“3米布料”和“能否做一件襯衫”的關系。此事例為引導學生歸納后面的充分條件的定義做了鋪墊。要說明該事件包括：A：有3米布料；B：夠做一件襯衫。

事件2：“一病人病重，呼吸非常困難，在住院急診后接氧氣。”就產生了“氧氣”與“能否搶救成功”的關系。事例為引導學生歸納后面的必要條件的定義做了鋪墊。要說明該事件包括：A：接氧氣；B：搶救成功。

事件3：某一天你和你的媽媽在商場遇到數學老師的時，你向老師介紹你的媽媽說：“這是我的媽媽”。你想一想這個時候你媽媽還會不會補充說：“你是她的孩子”嗎？

小結：用以上生活中的常見的事例來說明數學中要學習的概念、關系，實現培養學生邏輯思維上的“一題多解”，有助于提高學習興趣和掌握概念。

2.2公式推導中的“一題多解”

在高中數學的學習中，數學知識量大涵蓋內容廣，在解題的時候除了一些必要的知識概念需要記住以外，數學公式在解題中也是占了很大比重的，所以在學習時必須要讓學生靈活的掌握公式，而不是死記硬背。因此在教學過程中教師要注意重視公式的推導，其實公式推導過程就是一種解題方法或解題技巧。如果在公式的推導中應用“一題多解”，有助于學生在公式推導的過程中培養解題思維并能靈活應用。

【案例2】“等差數列通項公式”an=a1+（n-1）d的推導過程的教學過程。

法一：a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，…………………………

由此可得到an=a1+（n-1）dendprint

小結：這種方法叫做遞推法，是學習公式推導時必須重點掌握的方法之一，在后面數列的求通項公式中也是經常用到，這個推導過程也是培養學生數列解題能力的一個技巧。

法二：由等差數列的定義可知：

an-an-1=d，an-1-an-2=d，an-2-an-3=d，an-3-aa-4=d…………………，a3-a2=d，a2-a1=d，累加得：an-a1=（n -1）d，從而可得：an=a1+（n-1）d

評析：上面的這種方法叫做累加法，是常用于求數列通項公式的方法，這種方法不僅讓學生對公式記憶深刻，而且也學到了重要的數學解題方法和解題思路，更有助于學生思維的發展。

2.3 例題講解中的“一題多解”

在人教版數學課本必修5中選取了例題進行分析，引導學生深入分析題目，用好所學的等差數列前項和公式及其性質，得到不同的解法，實現“一題多解”的目的。

【案例3】已知一個等差數列的前10項和是310，前20項和是1220，由已知可以算出其前項和公式嗎？

分析1：由已知條件可知將已知條件代入等差數列前n項和公式，聯立方程組便可以求得a1和d，代入等差數列前n項和公式就求得n前項和公式。

法1：由題意可知S10=30，S20=1220，將其帶入公式Sn=na1+n（n-1）2d，

可得：10a1+45d=310

20a1+190d=1220

解之得：

a1=4

d=6

因此：Sn=4n+n（n-1）2×6=3n2+n

分析2：利用另一個等差數列前n項和公式sn=n（n1+an）2d

法二：

102a1+a10=310①

202（a1+a10）=1220②

②-①×2 得：a20-a10=600，由：d=am-anm-n=a20-a

1020-10解得d=6，又由Sn=na1+n（n-1）2d，得：S10=10a1+45×6=310，所以a1=4

所以Sn=4n+n（n-1）2×3=3n2+n

分析3：由已知{an}是等差數列，則可設Sn=An2+Bn，只需求出A，B。

法三：設Sn=An2+Bn，將它們代入可得

100A+10B=310

400A+20B=1220，解之得A=3，B=1所以Sn=3n2+n

分析4：利用等差數列前n項和公式Sn=na1+n（n-1）2d

變形解題

法四：由Sn=na1+n（n-1）2d

即：Snn=a1+（n-1）·d2，因此知數列

{snn}也成等差數列

因為：S1010=31010，S2020

=122020=61，所以：d=S2020-S1010=61-31=30

又因為：S10n10n=S1010+（n-1）×30=31+30n-30=30n+1

所以S10n=300n2+10n，Sn=3n2+n

在教材中只給出了第一種做法，主要是為了讓學生在學習完公式后能夠熟練掌握常見的解法。解法二是利用等比數列前n項和另一個公式，利用知三求二的方式求出了d與首項a1，進而求出所要求的。解法三是等差數列前

n項和的變式，利用等差數列的性質就可以寫成Sn=An2+Bn，只需求出A，B即可。解法四不常見且難以想到，是利用等差數列前n項和Sn的性質，判定{Snn}也成等差數列，然后先求解{Snn}，再求Sn，利用這種解法的時候要提醒學生注意構造，否則出錯率大。利用“一題多解”解決問題時教師要啟發學生多思考，掌握好所學的公式，讓學生明白解決問題的方法不唯一。

2.4練習和習題中的“一題多解”

一堂數學課結束，老師一般都會給學生布置大量的課后作業，效果并沒有預期的好甚至會有很多抄襲的現象。所以老師要注重課后習題的設置，可以用課本上的習題，讓學生用另一種方法去解答，訓練學生的解題思路，提高學生的解題能力，還可以布置變式教學題或者讓學生對課后習題進行“一題多解”變式練習，這樣做作業不僅可以達到復習鞏固的目的，還可以培養學生的學習興趣。

例如在學習完函數的定義域后可以利用下面習題對知識進行鞏固：

【案例4】原題：f（x）=mx2+8x+4的定義域為R，求m的取值范圍

解：由題意：mx2+8x+4≥0在R上恒成立

∴m>0且△≤0，得m≥0

變式1：f（x）=log3mx2+8x+4的定義域為R，求m的取值范圍

變式2：f（x）=log3（mx2+8x+4）的定義域為R，求m的取值范圍變式3：f（x）=log3mx2+8x+4x2+1的定義域為R，求m取值范圍

3.總結

在傳統數學教學中，教師只用單一的方法或者是書本上提供的方法給學生講解進行教學，忽略了知識之間的相關性和學生的發散思維能力的培養，從而限制了學生的思維，當學生遇到一個題時不會應用所學知識靈活解決.所以在教學中應該應用“一題多解”的教學方法培養學生靈活解決問題的能力并培養學生的思維能力。

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（ 作者單位：曲靖師范學院數學與統計學院，云南 曲靖 655011 ）endprint