巧用波利亞解題表提高學生自主學習能力

雒娟娟

摘要：本文通過“波利亞解題表”在章節整體教學中的應用一例，闡述了如何在課堂教學過程中創造性地使用此表，使得學生們在數學學習中不僅關注如何解題，更要學會解決問題過程中的思維方式，旨在拋磚引玉，找到能提高學生自主學習能力的平臺。

關鍵詞：波利亞；解題表；提高；自主學習能力

波利亞一生致力于解題思維過程的研究，最終他集數十年的教學與科研經驗寫成《怎樣解題》一書，其核心是一張“怎樣解題表”，它包括4個步驟：弄清問題，擬定計劃，實施計劃，回顧。

反思：

使用“怎樣解題表”這一理論時，它的思維過程是一氣呵成的，使用得當的學生會覺得解題就跟獵人打獵一般，先尋找獵物，再設計打獵方法，實施這個計劃，好的方法以“習慣成自然”的方式沿襲下來，形成“打獵技巧”，最終成為一個好獵手。

解決策略：

實際上，學生在解決問題的過程中，四個步驟最關鍵的就是“擬定計劃”的環節，這一環節設計的好壞、優劣，直接決定學生們解決問題的正確性及完備性，因此要解決學生們不會解題的問題，首先要打通這一環節。在我看來，“波利亞解題表”不僅僅是解題方法，更為我們提供了一個思維模式，下面以“反比例函數”這一章的教學設計為例進行說明。

第一環節：弄清問題

在波利亞解題表中，第一環節解釋下來就是面對一道題，進行以下思考：（1）已知是什么？未知是什么？（2）條件是什么？結論是什么？（3）畫個草圖，引入適當的符號。由這個思路出發，在一章節開始的第一課，先上一節“章前導學課”，目的是完成“架橋”的第一步。溝通“已知”和“未知”之間的聯系，弄清這一章節究竟要做些什么。

教學實錄（摘錄）：

師（出示章節題目）：從這個題目中你已知什么？未知什么？

生回答：已知這是一章跟函數內容有關的知識，未知的是反比例函數與以前學過的正比例函數、一次函數和二次函數的異同。

師：你先猜測一下，它們之間可能有什么異同？

生：相同之處是它們都是函數，都有函數的一般性質。不同之處可能是解析式不同、圖象不同、性質也不同。

第二環節：擬定計劃

在波利亞解題表中，第二環節解釋下來就是面對一道題，進行以下思考：（1）見過這道題或與之類似的題嗎？（2）能聯想起有關的定理或公式嗎？（3）再看看未知條件！（4）換一個方式來敘述這道題。（5）回到定義看看！！（6）先解決一個特例試試。（7）這個問題的一般形式是什么？（8）你能解決問題的一部分嗎？（9）你用了全部條件嗎？由這個思路出發，在“章前導學課”中，要幫助學生完成從“未知”到“已知”的轉化，也就是如何“架橋”。

教學實錄：

師：根據轉化思想，我們要把反比例函數知識的學習與哪些知識相聯系？

生：正比例函數、一次函數、二次函數

師：你能建立哪些聯系呢？

生1：反比例函數與正比例函數一字之差，它們之間必然有很深的聯系，而且與我們在小學中學習的正比例關系與反比例關系應該也相關。

生2：正比例函數、一次函數、二次函數及反比例函數都是函數，根據函數的定義，它們反映的都是在一個變化過程中兩個變量之間的關系，而且都是一個變量隨著另一個變量的變化而變化，從這一角度講，它們之間有很大的關聯。

師：在以往函數知識學習的過程中，你認為要研究函數的性質，首先要做什么呢？

生：畫出函數的圖象。

師：如何畫出函數的圖象？在畫圖過程中要注意什么？

生：列表、描點、連線，要注意函數的取值范圍，還有取的點不能太少，否則看不出圖象的性質。

設計意圖：通過第一二環節，使學生在進行學習之前首先做到“知己知彼”，才能做到“百戰不殆”。也才能讓學生知道自己在接下來的課中要做什么，而不是盲目地跟著老師走。

第三環節：實行計劃

在波利亞解題表中，第三環節解釋下來就是面對一道題，進行以下思考：（1）實現你的解題計劃并檢驗每一步。（2）證明你的每一步都是正確的。由這個思路出發，在課時教學中，要幫助學生完成計劃中的每一步，使學生通過自己的努力解決學習過程中的重難點，從而習得知識并獲得能力。

教學實錄：

第一課時：反比例函數的意義

本課時重點是理解反比例函數的概念，會確定反比例函數的解析式。難點是反比例函數意義的理解。

第二課時：反比例函數的圖象和性質（一）

本課時重點是畫反比例函數的圖象，并由圖象理解反比例函數的性質。難點是對反比例函數圖象特征的歸納分析，總結出反比例函數的主要性質。

第三課時：反比例函數的圖象和性質（二）

教學關鍵是做到“結論學生找，規律學生議，錯誤學生析”，教師要做到“因勢利導”，利用“問題串”的形式引導學生對問題不斷剖析，使學生的思維始終處于一種積極狀態，從而把探索的主動權交給學生。

第四課時：實際問題與反比例函數

本課時重點是讓學生能從實際問題中構建反比例函數的模型，教學關鍵是以學生熟悉的實際問題為主線，讓學生主動展開探究，尋找實際問題中兩個變量之間的關系.

設計意圖：在這一環節中，通過每個課時中重難點的不同，完成了第二環節中擬定的計劃。

第四環節：回顧

在波利亞解題表中，第四環節解釋下來就是面對一道題，進行以下思考：（1）檢查結果并檢驗其正確性。（2）換一個方法做做這道題。（3）嘗試把你的結果和方法用到其他問題上去。由這個思路出發，在本章節的最后一課，要上一節“章節總結課”，對一章所學的知識和方法進行整理和回顧，并進行反思。

教學實錄（摘錄）：

師：本節課，我們將進行章節總結，回顧反思一下本章節學習的知識，并進行小結，以利于知識的整理和鞏固。首先，我們看一下，本章主要學習了哪些相關概念？

生：反比例函數的概念

師：本章有哪些重要結論：

生：反比例函數的三種表現形式、反比例函數的性質、k值的幾何意義等。

師：本章有哪些題型？

生：（1）用待定系數法確定反比例函數的解析式；（2）畫反比例函數的圖象；（3）運用反比例函數的性質特別是k值的幾何意義解題；（4）結合函數圖象，比較函數值或自變量的大小；（5）反比例函數在實際生活中的應用；（6）反比例函數與其他學科的結合等。

師：本章有哪些易錯知識點？你是怎樣解決的？

生：（1）求反比例函數解析式時未考慮k的取值范圍；（2）畫反比例函數圖象出錯；（3）反比例函數解析式中k的幾何意義弄錯；（4）在實際應用中未考慮反比例函數的取值范圍等。解決的辦法是明確反比例函數的概念，對其三種形式的應用及互化要熟練；掌握反比例函數的圖象的畫法及性質；對不同的題型要多加分析等。

設計意圖：波利亞認為：“學習從行動和感受開始，再從這里上升到語言和概念，最后形成該有的心理習慣。”在這一環節中，通過對一章節知識的整理與回顧，使得學生們能將所學的知識內化于自己的知識結構.

總之，波利亞的解題理論，不僅給我們提供了解題的方法，更為我們提供了新的思維方式，我們一定要從更廣更深的方面去領會它。

參考文獻：

[1]《數學的發現》【美】喬治·波利亞；劉景麟 曹之江 鄒青蓮譯 科學出版社

[2]《義務教育數學課程標準（2011年版）》；人民教育出版社endprint