探究游戲模型中的概率問題

2017-09-14 06:59:00蹇晨雨

科學中國人 2017年24期

關鍵詞：規則游戲分析

蹇晨雨

湖北省沙市中學

探究游戲模型中的概率問題

蹇晨雨

湖北省沙市中學

日常生活中常見的游戲問題大多能以數學思維進行分析，并加以解決。本文通過對常見游戲的研究，分析常見游戲中蘊含的數學模型，并通過概率論的方法對其進行分析討論，得到常見游戲中普遍的數學規律，旨在解釋看起來公平或者選擇“理所應當”的游戲是如何存在概率意義上的必然性。

概率；游戲；數學思想；規則制度

一、游戲問題的相關背景

數學，作為多數高中生最為頭疼的一門基礎學科，大部分人對其持有一種“數學無用論”的看法，認為學數學在生活中用處有限甚至認為學習數學是浪費時間。然而，數學作為基礎學科，不僅是學好各大類學科的關鍵工具，也是解決問題的重要手段。接下來，本文將用數學中的概率論的思維方法解決幾個有趣的游戲問題。我們將了解到如何從熟悉的游戲中輕松取勝，并且對其中的原理奧秘用數學思維進行分析，讓你在游戲競爭中學會用數學思維分析建模，通過科學的方法做出正確的選擇。

二、常見的游戲問題分析

（1）報數問題（報30問題）

游戲背景：甲乙兩人輪流報數。從1起，每人每次可報一個數或連續的兩個數，誰能報得30誰就獲勝。請問：本游戲是否合理，若不合理請說明理由？

分析思考：這是民間流傳很久的“搶30”游戲。將問題分析后，可知確認游戲是否合理的關鍵之處在于先后報數的兩人獲勝概率是否相同。分析后則將問題轉化為求概率問題。

繼續對問題進行分析，獲勝的關鍵就在于誰先報到30，根據規則用逆向思維進行分析，誰要想獲勝，那他必須報到30或29和30，若他報的數為30，那對方一定報了28、29或28,，那么他只能報27或26、27，繼續向下逆推可知，若想獲勝一定要報得27、24、21、18……3，故可知，后報數必贏。

因此分類討論可知：

1.在雙方都不知道規則的情況下，任意方先報，則報1或1，2的概率均為1/2，而另一方報2或2，3的概率同樣為1/2。故依次推理得知，雙方報數時報得27的概率均為1/2。所以最后兩人報得30的概率均為1/2。在此條件下，此游戲則為公平的游戲。

2.在雙方均知道規則的情況下，若隨機選擇先后報數，則一方選擇后報數則可獲得比賽的勝利。在次條件下，比賽則偏向后報數的一方。

3.在一方知道規則條件下，其后報數總能獲得勝利。先假設其先報數，則可選擇報1或1，2，而對方選擇2和2，3的概率則為1/ 2，所以知道規則一方則可選擇報3，在其選擇報3后對方選擇報4和4，5的概率相同，此時知道規則一方必然可以選擇5。同理，不知道規則一方報到30的概率為1/2的10次方。

所以，報數問題對于不知道規則的一方完全不公平。

（2）蒙提霍爾問題（三門問題）

游戲背景：假設你參加一個抽獎游戲，主持人在三個小碗下面分別放了1塊錢、1塊錢和10000塊錢的籌碼。你選中哪一個，就可以領到對應的錢。當你選定一個碗后，主持人把剩下一個有1塊錢的碗翻開，并且，給你一次機會選另外一個碗。請問：應不應該交換？

分析思考：這個問題的結果與常識多少有些相悖，很容易陷入思維誤區而錯誤回答，對這個問題進行分析，應不應該換取決于換不換與最終獲獎拿到10000塊錢的概率哪個更大。在分析時，我們要知道此類問題隱含著的一個前提：主持人每次打開的碗均為1塊錢的碗。則可用如下方法思考：

1.化繁為簡，將問題簡化為：A.讓你先選一個碗，并給你一次機會與余下兩個碗交換，換不換？顯然，這個結果應該是要換。由于你第一次選擇只有1/3的機會選中10000塊錢的那個碗，余下兩個碗便有2/3的概率選中，所以，交換碗會使選中的概率變大。

B.也就是題目中的情況。主持人將有1塊錢的碗翻開，并不會影響整件事情的概率，那另外一個碗依然有2/3的概率是含有10000塊錢的，所以，應該與主持人手上的碗交換，因為你選中的概率將從1/3升高為2/3。

2.極限法，將碗的數量增加至10000，則在你選擇了1個后，主持人打開剩下的9998個，此時你會不會和剩下的交換。此時，直覺會告訴我們，你不會第一次選就能“萬里挑一”，所以會選擇交換。即，你第一次選擇就能獲得10000塊的概率為1/10000，此時交換的概率遠大于不換的概率。則會選擇交換。

3.數學計算，令事件A代表你選擇的碗里有10000塊，B代表主持人翻開一個里面有1塊錢的碗。根據貝葉斯公式：

P(B|A)=1,P(B)=1,則可得到P(A|B)=1/3,所以此時一定要交換。

4.問題拓展，此前我們是在已知主持人的行為，即主持人事先知道碗里的錢數，并且每次打開的均為1元錢的碗，這個前提下來討論分析問題的。但如果沒有給定這個前提條件呢，我們選擇交換的概率是否應隨著主持人的行為模式發生改變呢？下面我們來看兩種情況：

①如果主持人事先并不知道碗里的具體錢數，即翻開碗里的錢數是隨機的，服從等概率分布。此時，P(B|A)=1, P(B)=1/3×1+2/3×1/2=2/3,則可得到，這種情況下的P(A|B)=1/2，那么換不換都是一樣的概率，并不會影響結果。

②如果主持人還是事先知道碗里的具體錢數，但每次翻開的碗都與你選擇的相反，也就是說如果你很幸運的第一次就選中了裝有10000元的碗，那么他會翻開剩下兩個均裝有1元錢的碗其中的一個，僅當你第一次選擇的是裝有1元錢的碗時，那么他就會翻那只開裝有10000元的碗。這種情況下問題就變得很簡單，此時的P(B|A)=1，P(B)=1/3×1+2/3×0=1/3，可求出P(A|B)=1，很顯然這時你是絕對不能換的。

（3）循環連勝問題

游戲背景：甲、乙、丙三人進行比賽，規定甲與乙先比一盤，勝者與丙比，依次循環，直到有一人連勝兩盤為止，此人即為冠軍。假定每盤比賽雙方取勝的概率均為1/2，問這個比賽規則合理嗎？

分析思考：此題有關賽制類問題，我們可以假設若甲最終取得勝利，來求他獲勝的概率。設事件A為甲最終贏，事件D為甲贏了第一局，則由全概率公式可知：P(A)=P(A|D)×P(D)+P(A|Dˉ)×P(Dˉ)，設P(A|D)=a,P(A|Dˉ)=b，且甲在第一局贏了的條件下，最終贏了的事件也包括第二局輸或贏，所以如果第二局輸了，情況可以等效于第一局輸了，最后獲勝；同理，在第一局輸了的條件下，第二局只能獲勝，但第三局又可以輸或贏，這情況又等效于第一局贏了，最后獲勝。故可得：a=1/2+1/2b b=1/2×1/2a，解得：a=4/7 b=1/7，所以由全概率公式可以計算出P（A）=5/14，同理乙最終獲勝的概率和甲相同，也為5/14，丙獲勝的概率為1-5/14-5/14=4/14，也就是2/7，顯然，三人獲勝的概率不同，從中，也可以發現，先進行比賽的人，獲勝的概率較大，所以規則并不合理。

三、游戲中蘊含的思想與啟示

（1）游戲在我們生活中普遍存在，掌握它其中的概率問題，也就相當于掌握了制勝的法寶，使我們獲勝的概率增大許多。

例如很多體育競技項目，在賽事前選手的出場順序、比賽場地、競技對手等都是由抽簽這一環節來決定的，通常都會選擇拋硬幣的方式，鑒于這種方法簡單易得同時又滿足公開公平的原則，但有些重大的賽事前的抽簽環節，為了防止出現作弊等任何紕漏達到更嚴謹的狀態，有時也是考慮到起到營造整個比賽的緊張氛圍，則會采取一些更為復雜、新穎的抽簽方式。

例如1999年足協杯在最后總決賽的主客場次序抽簽環節就不僅是拋硬幣那么簡單，其選擇的方式為：先分別由兩隊選擇單數還是雙數，然后再分別由兩隊從數字1到9之間任意抽選一個數字，并求和，如若求和結果為單數，則由選擇單數的球隊選擇主客場次序，反之則由選擇雙數的球隊來決定。但這其中選擇單、雙的結果是不是完全一樣的呢，得到的結果又是否真的做到完全的公平呢，讓我們把它抽象為數學的概率問題來探究這個方式是否真的合理可行。

1.抽象問題：從數字1到9之間任選兩數并做求和運算，其結果為奇數還是偶數的概率是否相等？

2.概率分析：不妨設A：“選出的數字求和結果為偶”，B：“選出的兩個數字都為偶”，C：“選出的兩個數字都為奇”。顯然A=

3.結果分析：通過數學概率的計算，我們可以得出結論，在這個抽簽環節中，選擇單數的球隊獲得主客場次序選擇權的機會更大一些，有55.5%的機會。顯然這個抽簽方式的制定存在一定的漏洞，并不能做到完全的公平，如果在事先了解它其中的概率問題，那么就能充分利用這一規則上的疏忽，在比賽中搶先占據有利地位。這同時又在另一方面提醒比賽規則的制定者，在制定并賽規則時應更加嚴謹，盡量保持比賽的合理性、公平性。

例如A、B兩個人做一道判斷對錯的問題，答案無非兩種，非對即錯，顯然兩人的正確率并無并無什么區別都是1/2，假設在兩進一步考慮，如果是A、B、C三個人一起做同一道多選題呢，當其中兩人的選擇結果相同時，他們選擇正確的概率是多少？選擇的人越多是否就代表著這就是正確答案呢？這里我們假設每個人選擇的正確率均為p,同時剩余n個錯誤選項每個出現的概率也相同均為q，p+nq=1。此時選擇相同的兩人選擇正確的概率為。同時這個概率又要滿足大于一個人的正確率p，即我們可以得出結論，在p＞q，即正確選項的概率要大于其余每個錯誤選項的概率的前提下，選擇的人越多那么就代表著這個選項就是正確的答案。

（2）研究此類問題，其中蘊含了許多數學思想，例如逆推思想、化繁為簡思想、分類討論思想等等，這更加體現出了數學的廣泛應用以及它在生活中發揮的巨大作用。同時，這也像我們展示了，數學思想的靈活運用，以及一些基本的概率公式。

[1]王儒智.游戲規則中的概率問題[J].昌濰師專學報，2000，4（2）,69～70.

[2]唐國興.高等數學（二）第二分冊[M].武漢：武漢大學出版社，1991.

[3]經家麒.搶數游戲及其推廣[J].數學通報，1992（2）.

[4]瀟寒.[EB/OL].https：//www.zhihu.com/question/37861500/an?swer/79406813.