高中數學二次函數的三個教學階

段曹靜

【內容摘要】二次函數是高中數學函數知識學習中的基本內容。在學生已有的基礎上，讓學生進行知識梳理以形成清晰的知識結構，并做好初高中銜接的準備工作，可以讓學生在自主學習中發現函數的單調性等知識，并發現單調性所對應的定義域。這種精加工的結果可以根除傳統教學中通過機械重復來強調定義域重要性的弊端，從而保證了相關知識進入學生的長時記憶。

【關鍵詞】高中數學 二次函數 教學階段

二次函數是高中函數教學中最基本的函數之一，學生在初中階段已經初步學過該函數的知識。到了高中階段，要進行更全面的認識，而這個基礎就是學生已有的知識系統。因此這一知識的教學既具有管窺初高中數學教學銜接的作用，也能體現高中數學的基礎性特征。筆者梳理了二次函數的高中教學要求，同時結合高中生的認知特點，以為該教學可以分為三個階段。

一、原知識梳理階段

美國著名教育家奧蘇泊爾對教育心理學有一句精辟的描述，“如果要我將全部教育心理學歸納為一句話的話，那我將說，要弄清學生已知的并據此進行教學。”這里，奧蘇泊爾所說的“學生已知的”，實際上就是指學生的原有知識基礎，我國高中數學教學有一個優良的傳統，那就是新課教學之前必定要幫學生復習舊知，這實際上就是奧蘇泊爾教育理念的一種實踐。

高中階段二次函數知識的構建可以有兩個教學思路：一是直接面向新知識的教學，在需要舊知識基礎的時候再行回顧；二是梳理好原來的知識基礎，然后引導學生構建新知識。筆者喜用后者，因為這一思路可以幫學生清晰地重現原有知識，從而為高中階段二次函數知識的學習提供基礎，從而也就保證了學習過程中學生自主性的發揮——自主學習是高中數學教學中亟需培養的能力！

二、初高中銜接階段

所謂的初高中銜接，實際上就是學生在已有知識的基礎上，尋找新知識建構的“錨”——教育心理學中有一個著名的“拋錨式”教學理論，這一理論最大的建樹就是強調原有知識對于新知識所能發揮的作用。二次函數顯然是可以借助這一理論來實施教學的，但有一個關鍵，那就是讓學生能夠站在原有知識的基礎上尋找新知構建的方向。筆者的做法是這樣的：

首先，從二次函數的圖象即拋物線與平面直角坐標系上x軸的交點與y軸的關系，來幫學生進一步認識二次函數的圖象特征。而分析的結果自然是四種：一是拋物線與x軸的交點在y軸的同一側，而這意味著對應的二次方程有兩個相同符號的根；二是拋物線與x軸的交點在y軸的兩側，這意味著兩根符號相反；三是交點正好在原點，意味著一個根；四是與x軸沒有交點，無解。這一教學環節的作用在于讓學生對二次函數的理解簡潔化，從而可以為新知構建清除干擾。

其次，引導學生初步感知拋物線的相關性質。比如說從拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標角度認識拋物線，而這些都是學生相對熟悉的，在剛才第一階段的梳理中也已經遇到過的，因而就不會有太大的認知問題。然后，再讓學生初步思考在拋物線對稱軸兩邊判斷y值隨x值的變化而變化的情況，尤其是要思考這個變化過程中出現的“最值”——這個時候，增減性與最值的概念不要直接出現，只要讓學生感受這個意思即可。實踐表明，這一努力是完全有效的，不需要教師太多的引導，學生即能發現這樣的規律，只是這個時候學生的發現更多的還是經驗性的，還缺少更多的數學語言的精確描述，但這已經足夠的，已經可以為第三階段的教學提供基礎了。

再次，基于以上兩個基礎，讓學生從拋物線的平移角度初步感知其平移規律，并讓學生基于上面的第二點，去掌握相應的二次方程的根的分布情況。然后在韋達定理復習的基礎上進一步分析拋物線所對應的一元二次方程ax2+bx+c=0 的根與系數滿足的條件（具體可以用表格來呈現，七行五列的表格，除了左上角單元格外，六行分別是根的六種組合情況，四列分別是Δ、兩根之和、兩根之積、結論。限于篇幅，表格略去。）

三、新知識構建階段

新知建構階段，主要是學生的自主建構過程。這個過程中的主要任務就是二次函數圖象的單調性，因為單調性的理解與建立是需要用到學生的形象思維與抽象思維的，兩種思維方式同時作用，可以為單調性的建立提供保證（相比較而言，奇偶性更多的是邏輯推理的結果）。

在實際自主建構的過程中如果注意觀察學生，就會發現學生在此過程中，能夠有意識地基于二次函數的圖象，去發現單調性，尤其是還能夠自主發現單調增減所對應的定義域，而這是傳統教學中需要教師著力強調且學生還總是容易忽視的一個內容。

事實上，高中二次函數學習的一個主要特征，就是定義域的形式變化，由一個個區間組成的定義域已經超越了原有的所有實數，而由此衍生的則是二次函數的靜態理解向動態理解的過渡。經由上述三個階段，這樣的理解是可以順利建立的。

同時，這也可讓數學教師認識到，對于像二次函數這樣的基礎性特征比較明顯的知識，完全可以在幫學生梳理已有知識的基礎上，讓學生進行自主性學習，且其中由學生所發現的一些數學知識，往往可以因發現過程豐富而印象深刻，這從記憶的角度來看，就是精加工過程保證了數學知識進入了學生的長時記憶。

【參考文獻】

[1] 吳新建. 關于初高中數學銜接的思考——以高中二次函數教學為例[J]. 中學數學月刊，2014（7）：18-19.

[2] 彭興健. 以二次函數為切入點做好初高中數學銜接教學[J]. 數學教學通訊，2009（36）：13-14.

（作者單位：江蘇省南通市第二中學）endprint