通性通法：運算律教學的核心價值（二）

劉善娜

【摘 要】運算律教學的核心是對運算律本身的理解，對其“通性通法”的理解。“什么是交換律”“交換律為什么存在”“如何借助不完全歸納法得出交換律卻又體驗到科學性和嚴密性”，這些都是需要明晰的核心問題。數學上的定義和證明對小學生而言比較抽象，需要融合學生已有知識經驗將“通性通法”予以直觀、簡潔、正確的呈現，再結合學情進行預測，最終形成關注運算律“通性通法”的教學方案，以教學片段的形式呈現。

【關鍵詞】交換律 通性通法 價值

基本運算律被稱為“數與代數”領域的“通性通法”。在《通性通法：運算律教學的核心價值（一）——“交換律”一課的教學思考》一文中，已經闡述了交換律在數學上的證明及與之相契合的學生能被激活的經驗、能理解的直觀，以及如何感受歸納推理過程的科學性和嚴密性。但這些思考最終需要轉化成教學行為，落實到課堂教學之中。

學生早就會“用”加法交換律，但是卻不知道這個規律為何“有”，如何“說”。要把他們明白的東西給“引”出來，到底是給予算式觀察最為便捷，還是直接從字面鏈接已有經驗空間更大？基于加法結合律，學生自己能聯想到什么？他們能否自發激活相關經驗？這就需要進行學情預測。

一、學情預測

前測1：經由計算感知規律，然后用“如果……那么……”描述發現。

（1）算了這些式子的和，你發現了怎樣的規律？你能不能用自己的話詳細地描述一下，可以試試用上“如果……就……”來寫哦。

（2）左右兩邊的式子能用哪個符號連接起來？試著選一個寫寫。這樣的長長的等式你能自己寫兩個嗎？

（3）這樣的長長的等式寫得完嗎？如果寫不完，你能想出一個式子來代表它們嗎？

（4）加法中有這樣的規律，能讓你聯想到什么？你能舉例說明嗎？

（5）這樣的式子，這樣的規律，請你細細想想，你以前有遇見過嗎？學什么知識或者做什么題目的時候遇見過？

前測2：直接從“加法交換律”的名稱展開思考，表述猜想。

1.親愛的同學，你聽說過“加法交換律”嗎？你猜猜“它”是怎樣的？可以舉例說明，可以用文字描述。

2.在我們學過的加減乘除四則運算中，除了有加法交換律，還有乘法交換律，但是沒有減法交換律和除法交換律。請你猜一猜，想一想，乘法交換律是怎樣的？可以怎樣表示？為什么減法和除法中沒有交換律。請試著舉例說明或用文字描述。

兩次前測可知：學生觀察等式直接發現再枚舉驗證的學習路徑更有效；站在加法交換律上展開聯想，最好能給學生一定的問題指向；要促成經驗的對接，需要為學生提供清晰的素材。

二、教學片段

對交換律通性通法的研究，對學情的預測，究竟要怎么轉化為教學行為？下面通過教學片段予以呈現。

【片段一】“反例”跟進

課始，直接從4個式子求和切入。讓學生照樣子寫式子——“以例規例”寫大量的“這樣的式子”，任意寫，不計時間。學生借由“枚舉法”初識交換律。當學生自發認識到這樣的加法等式寫也寫不完，發現“交換兩個加數的位置，和不變”之后，就要利用“反例”促成較為科學的認知。

師：難道任意兩個數相加，交換加數的位置，和都不變？一個例外的也沒有？我們是不是應該檢驗一下？想什么辦法來檢驗？

生：找找看有沒有和變了的式子。

師：找反例，好辦法。如果找到一個例外，這個規律就不成立了。

生：76+358與358+76，好像不相等。

師：我們算一算。（教師板書兩個豎式，師生一起求出和都是434）。例子舉得很好，交換了兩個加數的位置也是和不變。

生：老師，3.8+2.1，小數行不行？

師：小數加法還沒學過，你們會算嗎？（教師板書兩個豎式）

生：我會算。3.8+2.1=5.9（教師完成一個豎式），2.1+3.8=5.9（教師完成另一個豎式）。和也是相等的。

生：老師，這就是加法的驗算，算出來結果肯定是相等的。

師：哦，原來我們以前加法驗算也是利用了交換加數的位置和不變的規律啊！怪不得我們找不到反例。那么，像這樣的規律，你們知道它叫什么嗎？

生：交換律。

生：加法交換律。

師：非常厲害，它叫加法交換律。這個加法交換律啊，在數學上還可以用一個式子把它表示出來，你知道嗎？

生：a+b=b+a。

師：在a+b中，a和b分別表示什么？

生：表示兩個加數。

師：它和b+a是相等的，可以嗎？

生：可以。

學生找不到反例，彌補了不完全歸納法科學性上的不足，而教師將學生找的“反例”擺成豎式筆算，呈現了他們熟悉的加法驗算過程，進一步認識到加法交換律存在的合理性。

[片段二]“數”“放”求源

師：咱們找到了很多符合規律的式子，卻找不出一個不符合的式子，所以就確認了加法交換律和乘法交換律的存在，又在減法和除法中找到了很多不符合的式子，所以否認了減法交換律和除法交換律的存在。但是，你們能否告訴我，為什么加法、乘法會有交換律存在呢？任意兩個數a和b相加，“和”為什么是不變的呢？

生：因為兩個加數沒有變啊。

生：因為數的大小不變。

生：我反駁。減法里面，被減數和減數的大小也不變的啊，怎么就不能交換位置了呢？

生：它們是先加6再加7，另一個是先加7再加6，它們的結果是相同的，只是位置變了。

師：有些意思了，“先加再加”里面有學問。我們從很多例子中發現了任意兩個數相加交換位置和不變，但是為什么會和不變的道理，咱們也得明白。老師給大家拍了一個小視頻，看看有沒有什么啟發。（播放視頻：一個孩子數小木圈，先數6個再數7個，共13個。交換順序先數7個再數6個，也是13個）你在錄像中看到了什么？你有什么啟發？

生：因為它們的總個數不變。

生：他是先數了6個，接著數了7個，然后先數了7個，再數6個，總共就是13個。

生：總共13個，隨便你先數哪部分，接著往下數，最后數出來一共就是13個。

師：“接著往下數”，大家剛認識兩個數相加的時候，就是這么做的呢。（課件呈現人教版一年級“加法”圖）先數出a個，接著往下數b個，和先數出——

生：b個，再數出a個，總共的個數不變。

生：就是兩部分要合起來。

師：如果兩邊之和要相等，就得怎么擺放？（課件出示天平圖）

生：左邊已經有a了，要放一個b，右邊已經有b了，要加一個a。只有a和b合起來才會等于b和a合起來。

師：看來加法交換律的道理明白了，那么乘法交換律的道理，你們能自己寫一寫、畫一畫、想一想嗎？獨立思考之后可以同桌交流。

生：我覺得乘法和加法是一樣的。比如有6個圈，2×3就是這樣數（黑板上橫著圈畫），3×2就是這樣數（豎著圈畫），總共還是6個。

師：橫著數，豎著數，總數的確一樣。我還聽到他說乘法和加法是“一樣的”，乘法和加法有聯系嗎？

生：乘法就是連加，2×3是2+2+2，3×2也表示2+2+2，所以2×3=3×2。

生：2×3是2+2+2，3×2我覺得應該表示為3+3。剛才加法里說了，先數一部分，接著再數一部分，和不會變，所以2×3=3×2。

生：反正都會合起來總共有6個。

學生有能力從大量式子中歸納出交換律，卻沒有辦法說清楚道理。數木圈的小視頻，學生觀察到左邊數完“接著數”右邊得到的結果，和右邊數完“接著數”左邊得到的結果是一樣的，學生也能通過天平圖表述“只有a和b合起來才會等于b和a合起來”。明白易懂的兩個直觀，結合加法意義的回顧，從本源上讓學生感受到加法交換律的成立。而乘法交換律成立的理由，就放手讓學生來表述。學生經由之前積累的經驗會選擇畫圓點圖來解釋乘法交換律，并在教師追問下打通了加法交換律和乘法交換律之間的關聯。

【片段三】回顧“遇見”

師：看看在我們以前學過的數學知識里面，你能看到它的影子嗎？你從哪兒能看見？

生：擺一擺里面可以左邊+右邊，也可以右邊+左邊，得數不會變。一句口訣，能說兩個乘法式子，答案都是15。加法乘法驗算里面也有交換律。

師：那么，在我們生活中遇到的事里（課件呈現下圖），你能看到交換律嗎？信息量比較大，咱們有序地一個一個看，先看第一個材料。

生：明明家到超市，然后再到學校，一共是770米，然后學校到超市，然后再到明明家，它的距離也是770米。

生：平時上學也是這樣，上學的距離和放學的距離是一樣的，這里有加法交換律。

生：第二個材料是很多把椅子，4×6等于24把，然后6×4也是24把。

師：你怎么看到4×6和6×4的呢？

生：橫著一行一行看，就是6×4，然后豎著一列列看，就是4×6。數出來都是24把。

師：數數椅子也能發現乘法交換律。

生：第三個材料，401班的男生18人和401班的女生20人，人數交換一下，它都是38名。18+20=20+18。

師：3號材料，信息量比較大，她能從那么多的信息里面選擇想要的信息來表達交換律，掌聲送給她。數完男生人數接著數女生人數，或者數完女生人數接著數男生人數，401班的總人數不變。

生：我還可以先數402班的男生人數，再數402班的女生人數，然后相反，總人數不變。19+16=16+19。

生：還有401班的男生和402班的男生加起來的人數也不變，18+19=19+18。

生：還有401班的女生和402班的女生加起來的人數也不變，20+16=16+20。

師：還能有再大膽一點算法嗎？

生：就是401班的男女生和402班的男女生總人數不變。18+20+19+16=20+18+16+19。

師：我們按這個順序依次數人數，兩班的總人數肯定是不變的，但我們剛才不是一直在說，是兩個數相加的嗎？（課件出示：加法交換律和乘法交換律的概念）怎么這會兒四個數也成了？

生：因為這四個數，其中的男生和女生是401班的，另外一部分男生和女生是402班的，所以說還是兩個數。

師：請你一個班一個班地看，四個數在她眼里就成了兩個數，很有道理。四個數有點兒復雜，老師舉一個簡單的例子，咱們來研究一下。看，假如是這樣的三個數，左邊等于幾？（9）右邊等于（9），2+3+4=3+4+2。加法交換律說，兩個數相加，這里有三個數相加，它可以怎么交換呢？怎么交換一下就會從左邊變成右邊？

生：先2和3交換，變成3+2+4，再2和4交換，就得到了3+4+2。

師：也就是說，這三個數相加的時候，咱們用了幾次交換律啊？

生：2次。

師：那么像18+20+19+16=20+18+16+19這樣四個數相加，可能用的次數就（更多了）。我們數學喜歡用最簡單的方式來描述，只說“兩個數相加”就能表達清楚了。以后數可能會越來越多，我們在運算的時候，可能不僅僅會用到交換律，還會用到更多的運算律。

三、教學思考

驗算、口訣這些數學化的“交換”體驗，讓學生進一步了解了交換律，而通過具體情境的觀察，提煉蘊藏其中的交換律，則能進一步深化學生對交換律的認知。上學路線（線段圖）、座椅擺放（實物圖）、人數（條形圖）豐富了交換律的具體表征，其中的條形統計圖里放入了4個信息，學生可以尋找到多個運用交換律的等式，并進一步理解了交換律為何都表述為“兩個數相加（乘）”而不是“幾個數相加（乘）”。

在上述教學片段中，學生通過大量舉例歸納得到了交換律，又理解了交換律為什么存在，并在與以往的經驗溝通中進一步理解了交換律。除此之外，在交換律的教學中，教師還要關注以下幾個細節。

（一）強化“推想”

當學生從大量式子中發現“兩個數相加，交換加數的位置，和不變”的時候，要引導學生試著追問自己“只有相加的時候，有這樣的規律嗎”，猜想試試。落實到練習中，比如判斷下面的等式是否運用了交換律，（1）82+0 = 0+82 ；（2）75×8=8×75；（3）16×4=8×8 ；（4）48+73=37+84。要讓學生根據對交換律本身的理解來回答自己判斷的理由，這樣的過程，才是檢驗交換律是否掌握的過程。

（二）對比學法

加法交換律的學習路徑和乘法交換律是不同的。加法交換律是從例子中歸納發現結論，是一種合情推理，而乘法交換律是在加法交換律基礎上展開聯想，先猜測結論，再去驗證，這是類比推理的過程。因此，有必要在認識加法交換律和乘法交換律后，讓學生回頭看一看，“對照板書，回顧一下，剛才我們探尋加法交換律和探尋乘法交換律的過程有什么不一樣嗎？”通過對比，感悟到不同的學習方法，認識到“有的時候，我們是從很多例子里面發現新的結論，有的時候，我們大膽地去猜想，然后舉例子將它驗證”。

（三）理清路徑

借助板書式的思維導圖，將學生的整個學習路徑直觀呈現，能讓學生進一步感悟到定律探究的方法和策略，為今后的運算律學習積累經驗。

只有立足于“通性通法”的運算律教學，才能凸顯運算律的核心價值，才能讓學生在運算律的學習過程中經歷探究的過程，明晰數學規律的客觀存在性，感悟探究過程的科學性。

參考文獻：

[1] 余元希.數的概念淺說[D].上海：上海教育出版社，1980.

[2]張奠宙，戎松魁.正本清源，通過“數數”活動理解運算律——關于加法、乘法交換律的討論[J].教學月刊·小學版（數學），2015（6）.

[3]姜榮富.追問知識意義與核心價值——對運算律的理解維度[J].小學教學，2012（5）.

[4]姜榮富.根據知識的特點設計教學——對運算律教學的建議[J].小學教學，2012（06）.

[5]季國棟.簡單且深刻——“交換律”教學實錄[J].小學教學，2015（02）.

[6]南欲曉.從理解的角度思考運算定律學習中的困難及其對策[J].教學月刊·小學版（數學），2017（1～2）.

（浙江省寧波市奉化區實驗小學 315500）