重構順序分解難點

邵漢民

【摘 要】“角的度量”是圖形的認識與測量的重要內容，它由五個教學板塊組成。合理安排好這幾個板塊的學習順序，可以更好地順應學生的學習心理與角的認識邏輯。以人教版教材“角的度量”一課為例，教師可以進行單元整體重構，分成三個課時，分別為學生設計預備性學習，從而設計了解學生獨立學習水平的預學作業。

【關鍵詞】角的度量 整體重構 預學作業

“角的度量”是人教版小學數學四上年級的內容，這一個單元有“線段、直線、射線”“角”“用量角器量角”“角的分類”和“畫角”這樣五個教學板塊。這一個單元中，“用量角器量角”是教學的難點，因為量角器特殊的結構、復雜的量角方法、多變的角的位置等都成為學生難以逾越的一道道鴻溝，在短短的40分鐘時間內，要讓學生認識量角器，并正確地量各種位置與形狀的角，是一個很難實現的目標。因此，雖然關于如何量角，各類公開課給我們提供了許多的學習策略，但是，真正到自己的班級中進行實踐，還是暴露出很多的問題。所以，除了努力改進本課的教學之外，能否從單元整體設計的角度，適當調整這五個板塊的教學順序，拉長教學難點的學習時間，由易到難、由表及里地編排“角的度量”的相關內容呢？筆者進行了實踐研究。

一、“角的度量”的教材分析

一般地，大多數教材是按照人教版的流程來組織“角的度量”這一個單元的，認為“角的度量”是對角的定量刻畫的過程，是“角的分類”的基礎，“畫角”則是對量角器的再應用。這樣的編排，用“量角器”作為測量工具，逐步展開對“角”的定量刻畫。但是，由于“量角器的認識”與“量角器的測量”在一節課中同時學習，難點多，任務重。同時，“量角器”的構造是建立在“角”的發生性定義之上的，即表示的是“一條射線繞著它的端點，從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形”，因為只有這樣，才可以說明量角器中的兩條方向相反的“0刻度線”，才可以體會“內圈刻度”“外圈刻度”的應用價值。

那么，什么時候引入“角”的發生定義更有意義？答案是對于“周角”的理解時。因為從各個角的定義來講，“周角”是唯一一個只能夠用角的發生定義來解釋的角。所以，“角的分類”是否可以在“角的度量”之前進行教學？是否可以讓“量角器”的構造成為角的分類的工具？

二、“角的度量”的單元重構

基于以上的分析，筆者對“角的度量”的單元教學進行了整體重構，新課教學分成了三個課時，分別是第一課時為“線段、直線、射線與角”，第二課時“角的再分類”，第三課時“角的度量與畫角”。即把原來的“角的分類”與“角的定量刻畫”放到“角的度量”之前，具體構思如下：

這三節課中，“角的再分類”是重點。第一節課是在認識了射線的基礎上，對“角的含義的再認識”；第二課時，在原來已經學習了“銳角”“直角”和“鈍角”的基礎上，對角進一步進行拓展（平角、周角），并嘗試用定量刻畫角的大小。

同時，在教學構想時，對這三節課均采用了“預學后教”的形式，依據學習內容與學習目標，選擇合理的學習材料，設計可以促進學生自主學習的預學作業，讓學生在課前進行自主預學，教師根據學生的預學情況，再組織課堂教學。

三、預學作業的單元整體設計

預學作業的單元整體設計，要求教師既要關注每一個課時的教學內容與目標，同時，也要關注課時內容與目標之間的聯系。讓學生通過預學作業，先自主嘗試，觀察分析，解決問題。“角的度量”重構后的三節新課，以對“角”的不斷認識為線索，讓學生經歷“角”概念的不斷完善與刻畫。依據每一節課的內容特點與學生的認識基礎，我們分別確定了預學作業設計的基本策略，第一課時由生活現象抽象數學概念；第二課時由已有知識基礎進行“角的再分類”；第三課時由簡單模仿嘗試測量作圖。

（一）由生活現象抽象概念

射線是定義角的一個從屬概念，而射線又是對“直的線”進行分類時的一種情況。誠然，直線與射線在現實世界中是不可能找到的，但可以找到相應的原型，把它們作為認識與想象的載體。

首先，可以出示各種生活中的線（如下圖），從圖中你看到了哪一些線？日常生活中分別叫什么？它們有什么相同點與不同點？

從生活中的三類線的原型出發，通過觀察比較、抽象概括，直觀地感知各類線的基本特征，并嘗試用圖示、語言等方式概括出它們各自的特征。不可否認，在紙上畫出的線段、射線與直線只是表示這三種線的直觀符號，線中的端點，表示線的起點或終點。因此，如果沒有端點，則說明它還可以向這個方向無限延長。這就是圖形的抽象性與直觀性的統一。

同樣地，按定義所得到的角，在現實生活中也無法找到。但是，可以用從一點出發的兩束激光作為原型，嘗試讓學生來進行概括角的定義（如下圖）。

角在之前學生已經初步認識，這里由射線作為基礎，概括出“角”的定義。

基于以上的考慮，筆者設計了如下的預學作業。

預學作業

同學們，在我們的生活中可以看到各種各樣直直的線。下面讓我們一起來觀察一組這樣直直的線，說一說它們有什么不一樣的地方，你又有什么發現？

一、我觀察

在下面三幅圖中有三種不同的線，請依據圖示，分別畫一條線來描述。再說一說這些線的特點，最后給這三條線分別取一個名稱。

二、我分析

上面的三種線有什么相同點與不同點？

三、我描述

把下圖中的激光所組成的圖形在圖的右邊畫一畫，再說一說你是怎樣畫的。

這份預學作業中，沒有出現“線段”“直線”“射線”和“角”這些名稱，是想讓學生自己經歷一個抽象過程，了解學生能否依據生活經驗，做出概括。

（二）由已有認識基礎進行角分類

這一個課時的標題稱為“角的再分類”。因為之前依據角的大小，學生已經認識了“銳角”“直角”與鈍角，均是從角的外形特點概括的。本節課，在此基礎上學習“平角”“周角”。同時，這一節課中，還要學習“角”的發生定義，即角是由一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另外一個位置的圖形。這個定義如何引出，筆者認為對于“周角”的研究應該是一個重要的切入點。

而“角的測量”更是基于角的發生定義來完成的。同時，我們也預設，有一部分學生在日常生活與學習中對用“度”作單位刻畫角的大小，已經有了一定的認識。所以，如何通過設計預學作業，讓學生自己經歷一個從已有的學習基礎出發，自主地認識與建構知識的過程。

角的再分類

同學們，我們已經對角的概念以及角的名稱有了一定的認識，今天我們對學過的知識做一次回顧，并進一步來學習角的另一個知識——分類。讓我們一起來試一試。

一、觀察下面的角，依據你的理解，給下面的每一個角取上名稱

二、我比較

上面的五個角，分別是一類角的一個代表，再在下面試著各畫每類角的一個角。然后回答下面的三個問題。

1.哪幾類角的大小是固定的？它們之間有怎樣的關系？

2.哪幾類角的大小是不固定的？它們各在什么范圍？

3.第一題中的五個角各有多大呢？可以分別用一個數量來描述它們的大小嗎？ 能夠說出幾個就寫幾個。

這一份預學作業，從給不同的角取名稱為切入點，了解學生在對角的分類過程中，對于新知的掌握情況，教師可以依據學生的學情，組織課堂教學。

（三）由簡單模仿嘗試測量作圖

在角的再分類時，學生對于角的發生性定義與在圓周上定量刻畫角已經有了充分的認識。因此，本節課中可以嘗試利用量角器量角與畫角，并在量角與畫角的過程中，依據上一節課中的經驗，逐步總結出用量角器量角與畫角的步驟。為了了解學生的自主學習情況，并以此為基礎組織教學，設計了如下的預學作業。

量角與畫角

同學們，上一節課中，我們學習了對角的再分類，并且能夠在圓周上讀出角的度數。下面我們試著用量角器量一量已知的角，再用量角器畫一畫指定大小的角。讓我們試著做一做，并歸納一下量法與畫法。

一、我測量

1.根據下面量角器的放法，先標出這個角旋轉的過程，然后試著測量。

2.依據上一題量角的經驗，請量出下面的三個角的度數。

二、我歸納前面量角的經驗，想一想量角可以分成哪幾步？

三、我根據畫角用量角的經驗，用下面的射線作為一條邊，分別畫一個60度和125度的角。

四、我歸納前面畫角的過程，想一想畫角可以分成哪幾步？

五、回音壁

認識量角器，會從量角器中看出大小不同的角，是量角與畫角的基礎，這一份預學作業的第一題，帶有量角器模型的半圓，可以給學生一個量角器放法的提示。

三份預學作業依據學生學習內容的不斷推進，給學生的自主學習提供了一個支架與思路，更為教師了解學情、組織教學、實現有依據的教學提供了可能。

總之，在對“角的度量”的單元整體分析與教材重構的過程，是學生的學習更加順應數學的產生與形成的過程，是教師進一步理順數學學習序列的過程，并以“預學作業”作為教材重構的載體，淡化了教材“教”的成分，突出了學習材料促進學生自主學習的功能。

（浙江省杭州市蕭山區所前鎮第二小學 311200）