歷史發生原理對小學數學教學的幾點啟示

賈春波

【摘 要】歷史發生原理提出個體知識的發展遵循人類知識發生的過程。學生個體對數學知識的理解過程遵循數學知識的發生、發展過程。歷史發生原理對小學數學教學具有指導意義，要根據歷史發生的主要步驟設計教學的“序”；要根據歷史發生的主要問題設計教學的“關鍵問題”；要根據歷史發生的主要困難干預學習中的“障礙”。

【關鍵詞】歷史發生原理 小學數學教學 啟示 用字母表示數

一、歷史發生原理的基本思想

歷史發生原理（Historical Principle），即“個體知識的發展遵循人類知識發生的過程”。德國生物學家?？藸枺‥.Hackel）于1866年提出生物發生學定律——“個體發育史重蹈種族發展史”。19世紀，人們將此移植于教育，歷史發生原理由此而形成。就數學教育而言，歷史發生原理是指個體對數學知識的理解過程遵循數學知識的發生、發展過程。它將個體的心理過程與人類的認識過程對應起來，為理解現在學生的數學認知和數學學習路徑提供了有益的思考。

歷史發生原理一經提出，就得到了很多數學家和數學教育家的支持。他們相信，有效的學習，要求每個學習者回溯所學學科歷史演進的主要步驟。如龐加萊指出：教育工作者的任務就是讓孩子的思維經歷其祖先之所經歷，迅速通過某些階段而不跳躍任何階段。①弗賴登塔爾根據歷史發生原理提出了“年輕的學習者重蹈人類的學習過程，盡管方式改變了” 。②這些觀點說明，歷史發生原理對教學有著重要的指導作用，對小學數學教學具有一定的啟發意義。

二、對小學數學教學的幾點啟示

（一）要根據歷史發生的主要步驟設計教學的“序”

許多數學知識的產生與發展常常經歷比較長的歷史過程，在這個歷史過程中，會有一些主要“步驟”，這些主要步驟是這一數學知識整個發展過程的“標志性”階段，這些標志性的階段常常是人類認識這一數學知識的必經過程。因此，借鑒人類歷史上認識這一數學知識的主要步驟，可以指導教學，設計教學的順序，比如，德摩根強調代數教學中的歷史次序，認為教師在教學代數時，不應該一下子把新符號都解釋給學生，而應讓學生按照歷史的順序去學習符號。又如據蒲淑萍、汪曉勤的研究證明，學生對“用字母表示數的認知發展過程”和“字母表示數的意義演進過程”之間存在一定的相似性。①由此可見，須先了解字母表示數的歷史發生、發展過程。

1.字母表示數的歷史演進主要步驟

追溯歷史，不難發現，“用字母表示數”作為代數學最基本的內容，主要經歷了古老的文字表達算術、丟番圖用字母表示未知數，直至韋達與笛卡爾系統的符號表達的3個質變、關鍵時期。19世紀德國數學史家內塞爾曼依據時間順序并結合代數的表達方法，在其《希臘代數》中首次將代數的數學歷史時間劃分為三個主要階段：修辭代數→縮略代數→符號代數。②對應符號代數的歷史發展過程，其用來表示數的“字母”在“具體意義”上的歷史演進過程為：記數（表示特定的數）→未知（特定的未知量）→一類（任意的已知量或未知量）。其發展的路徑是緩慢、曲折、總體呈螺旋上升的。字母表示數的功能在人類探索現實生活的數量關系中，經由從具體到抽象、特殊到一般的反復認知與發展的過程才得以逐步推進和完善。

2.根據演進主要步驟確定教學“序”

字母表示數的具體意義演進過程經歷了3000余年的漫長歷程，因此要讓學生經歷真實的歷史進程。正如弗賴登塔爾指出“有效的學習要求每個學習者回溯所學學科歷史演進的主要步驟”。③即讓學生經歷字母表示數意義的三個主要歷史步驟：記數→未知→一類。那么，現實情況學生對字母表示數意義的理解會處在哪一步呢？

筆者對某校的五年級學生進行前測，前測試卷（部分）是根據人民教育出版社2013年出版的教材（以下簡稱“人教版2013年教材”）五年級上冊第53頁例1改編而成（如圖1），測查的目標是依據《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出的“在具體情境中能用字母表示數”制定。測查學生在具體情境中對數學信息（問題）的理解能力，對具體情境的數量關系的理解與抽象能力，對具體數（包括數字算式）的抽象與概括能力及表征方式。

從統計表看，學生的表征差異較大，共有7個水平層次，且低水平層次人數較多。其中表征中沒用字母的學生占70.17%，屬于符號代數的初始階段——“修辭代數”；29.83%學生進入了用字母表示“縮略代數”的階段。在進一步訪談中可看出，學生對用字母表示的意義的理解上，大多數學生停留在較低層次的“記數符號”，少部分達到了用字母表示“未知量”的水平（如圖2）。在表征中雖用到字母符號，但他是用特定的符號“×”表示小紅的年齡，用“××”表示爸爸的年齡，與歷史中丟番圖的表征方式具有較強的相似性。

測查中學生所表現的情況，跟教材編排是相關的。翻看人教版2013年教材，第一學段編排一些“圖形符號表示特定量”內容，意在為學生積累符號表示未知數的基本經驗，為理解字母表示特定未知數奠定基礎；第二學段編排的重點是，學習用字母式 1表示數量關系（一類量）。從宏觀看，教材對“字母表示數”的內容呈現，大致遵從了該內容的歷史形成過程。但從微觀看（測查數據），對字母意義演進的水平層次設計不夠，如從前期“圖形滲透特定未知量”到“運用字母式表示數量關系”的跨度過大，期間跨越了對字母表示數意義的理解，包括字母表示“未知量”（特定未知量和未知變量兩種意義），字母表示已知變量等。這些環節的缺失即對其意義缺乏思辨和提升，導致大部分學生在運用字母式表示數量關系時符號意識不強，多數處在符號歷史的初級階段“修辭代數”，對字母表示數的意義的理解概括程度低，基本處在“記數階段”。

根據用字母表示數的歷史發展順序及學生的實際情況，重構字母表示數教學的“序”。從易到難，設計三個環節（如圖3）。此“序”與人教版2013年教材比較，增加環節一用字母表示“未知量”，它是字母表示數的意義演進過程中的第二個關鍵步驟，是本課的理解基礎。其目的是既培養學生的符號意識，實現表征符號化（用字母表示未知量），又提升“未知量”的意義，促使學生從“特定未知量”走向“未知變量”，為用字母式表示數量關系奠定理解的基礎；環節二是用字母和字母式表示“一類量”（變量），它是字母表示數意義演進過程中的第三個關鍵步驟，是本課的核心重點，目標是認識字母和字母式可一般化表示變量，先認識字母表示變量（小紅年齡），提供推理出字母式的邏輯基點，讓學生可以通過類比推理，得到表示爸爸年齡的字母式；環節三為理解字母式表示關系，是本課的難點，其目標是初步感悟字母式不僅能表示數（對象），還能表示關系（過程），調整認識的步驟，先認識字母式表示數，再在比較中認識字母表示關系。

（二）要根據歷史發生的主要問題設計教學的“關鍵問題”

歷史發生原理指出，學生會重蹈知識發生過程中的關鍵步驟。閱讀歷史可知，一個數學知識從某個關鍵步驟發展到下個關鍵步驟并非是一蹴而就的，其發展過程是漫長的，問題也是眾多的。那在學習該數學知識的課堂中，讓學生經歷怎樣的問題情境才比較好呢？我們可以根據該數學知識在歷史關鍵步驟的過渡、轉變中發生的主要問題，重構符合當下學生心理特征的關鍵問題情境。

對用字母表示數的意義教學，需還原歷史，站在歷史的長河中去研究用字母表示數為何會產生、解決了什么問題、每個步驟間的關鍵變化是什么等深層次的問題。借鑒這些歷史發展中的主要問題，設計成課堂中的關鍵問題，讓學生像歷史中的數學家一樣進行思考。

查閱數學史，在公元前3000年前后，字母主要表示“記數”（特定數），如希臘字母“H”表示100，這解決了人類最初的記數問題，對數有了清晰的表達，這與我們熟悉的用0～9的數字符號表示數，在本質上沒有多大的區別。到公元前3世紀，主要代表人物丟番圖開始使用字母表示代數學，如用希臘字“數”的第一個音節的縮寫符號來表示特定的未知量。這是字母表示數歷史上的第一次關鍵轉變，它使得字母表示數，除了具備“確定”意義，還增加了“不確定”的意義，即未知意義。盡管這只是一種特定的縮略表示，但對代數學來說，無疑是一大進步。它使得代數學的表達（主指方程）變得簡潔，但此時的字母仍沒有表示“一類量”。直至16世紀，法國數學家韋達在前人積累下來的經驗基礎上，有意識地、系統地使用字母表示數。在他的《美妙的代數中》，首次用元音（母音）A、E、I等表示未知數，輔音（字音）B、C、D等表示已知數。1 這被公認為是對傳統代數的突破，是代數學發展歷史的一座重要里程碑。這一階段的字母表示數，顯然超越了各類數量的具體特定，開始從一般意義上去表示，使代數成為研究一般類型的形式和方程的學問。從中發現，這一轉變使得字母表示數的意義，從簡單的“縮略代替”轉變為具有抽象、概括的“一般性”。

1.根據主要問題創設情境，自然生發“關鍵問題”

從“記數”到“未知量”的關鍵問題是表示對象即“數”發生了變化，從具體、確定的數到未知、不確定（待定）的數，使得字母表示數的意義，也從“已知確定”拓展到“未知不確定（待定）”。據于此，筆者創設從已知確定的數到未知不確定的數變化的一個數學問題情境（如圖4）。任務一中，前兩幅圖中的數量是確定的，分別是3個和5個1元硬幣，而第三幅圖的存錢罐要表示的數量，雖然是未知、不確定的，但其情境對學生來說是熟悉的，學生可以借助一些生活經驗，完成這個具有挑戰性的任務。

在另一次基礎較差班級對比測查中發現，用改編人教版2013年教材五上例1的問題情境（如圖1），學生在用“式子”表征爸爸年齡時用到字母的僅為2.7%，但同是這些學生在解決（如圖4）的問題情境時，有36.64%的人在表征中自發用到字母。全班學生對字母表示數意義的理解，呈現三個典型階段（如圖5），即記數階段，如（1）式，采用具體數表征；未知量階段，如（2）式，采用其他符號或文字進行縮略表征；第三階段，一類量（初步）階段，如（3）式，用字母表征，認為字母可以表示任何數。這與字母表示數意義的歷史演進過程具有相似性，可成為重要的學習素材。筆者對此進行了教學實踐。

（1）表征對象從確定到不確定。

呈現如圖4的問題情境，學生嘗試表達，然后依次呈現出一些典型表征方式。

提出關鍵問題1：剛才，老師看了同學們的作業后，發現前兩幅圖大家表示一致：3和5，而第三幅圖存錢罐的表示卻不同，這是為什么？

生：因為前面，我們能看到圈內有3個硬幣和5個硬幣，而存錢罐里硬幣我們不知道。

生：前面的硬幣個數確定的，是3和5；存錢罐里的硬幣是未知、不確定的。

師：看來同學們都認為，前兩幅圖的硬幣個數是確定的，可用數表示；而存錢罐的硬幣個數，無法確定，是未知的，所以大家的表示方法就各不相同。

（2）聚焦未知表征的對比。

由低到高整體呈現三種典型表征（如圖6）。

提出關鍵問題2：這三種方法，你欣賞哪一種，為什么？

生：我喜歡第二種，“8”只表示了一種，用文字寫的意思很明白。

生：我選第三種，“8”是表示一種，存錢罐中的硬幣不只是8，還有很多可能，用“文字”寫較麻煩，字母較為簡單。

生：我也選第三種，“8”是確定的，而存錢罐里的錢是未知的，不確定的，字母可以表示多種情況，又簡潔。

從上述的教學實踐看，重構的表征未知量的問題情境，既符合當下學生的實際，又能凸顯字母表示未知量的內在需求。教師引導學生對不同表征進行對比，就自然生發出對兩個關鍵問題的思辨，產生交流的欲望。在交流中，初步感悟字母表示不確定數的意義及優越性?？梢姟白帜副硎疚粗俊钡那榫呈悄茏寣W生產生共鳴的“觸發點”。

2.根據主要問題提供對比素材，自然觸發“思辨問題”

從字母表示數意義的“未知量”階段過渡到“一類量”階段，其主要的問題是表示“對象”的意義發生了“質變”，即從特定量（特殊）到變量（一般）。因此，要據此創設出類似的問題情境。數只能表示一個特定的情況，字母不僅能表示一種特定的情況，還能表示一個集合中任意一個值的量。這是兩者的本質區別，也是字母表示數的優勢所在，即用一般化表示一類量。它是從算術思維過渡到代數思維“質”的飛躍的重要標志。在前測中發現，雖然同樣都是用字母表示存錢罐的硬幣數，但對字母表示數意義的理解卻處在不同的水平層次（如圖7）。圖7中的（1），雖用字母a表示未知量，但把字母a想成某一個數。圖7（2）中的字母a，則可以表示任何數，具有廣泛性。兩者對于“變量”意義的理解還不夠到位，因此需要進一步對比與思辨。

實踐中，會在環節一和環節二各契入兩種典型表征“數和字母”的比較，對其表示的“意義”進行重點對比，從而自然觸發“思辨問題”（如圖8）。

師：剛才同學們認為，存錢罐里的1元硬幣數是未知的、多種情況的，所以用字母來表示，c可以是0個，也可以是1個、2個……最多是200個（指這個存錢罐最多放的1元硬幣數）。提出思辨問題1：分別用1與c表示存錢罐里的硬幣有什么不同。

生：1是表示確定的，c表示未知的、不確定的。

生2：1是確定，只表示一種情況，c是不確定，可以表示任何數。

生3：1只能表示一種情況，c能表示存錢罐里所有可能硬幣數中的任意一種情況，如0～200中的任意一個數。

在實踐中，學生對字母“c”表示未知量意義的理解與前測相同，也處在不同的水平層次，生1是把字母當成了“未知”的替代物，生2則把字母提升到了一般數的層次，生3對“變量”有了初步的理解。經過對比、思辨、交流等數學活動，促使學生對字母表示數的意義的認識從低水平層次向高水平層次的轉變，較為深刻地理解字母表示變量的意義，也進一步體會到字母表示數的優越性。也為環節二中用字母式表示具體情境中的數量關系（變量）及辯論“思辨問題2”，即“4+32”與“a+32”有什么不同，鋪墊理解的基礎。整個過程，讓學生沿著數學家提出概念所走過的路程，經歷“一次次地引發概念沖突，一次次地修正概念，一次次地完善概念”的探究過程。

（三）要根據歷史發生的主要困難干預學習中的“障礙”

在數學知識的發生、發展過程中，數學家們常常會走一些彎路，碰到一些認知上的困難或障礙。歷史發生原理指出，學生作為一個群體會重蹈歷史上數學家們曾經遭遇的這些困難，成為他們認知中的學習障礙。因此，教師要了解數學家曾經走過的彎路，碰到的那些認知障礙，可提前在課堂教學中采取一些干預策略。

數學家對一類量的認識以及用含有字母的式子表示一個結果亦是經歷漫長的歷史過程。誠如M·克萊因對美國的“新數學運動”的批評：從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達和笛卡爾以前，沒有一個數學家能意識到字母可用來代表一類數1。用字母表示一類量，并非僅僅是“用字母代替數”，而是形式背后的思維轉變，即從算術思維向代數思維過渡。要順利完成過渡，其思維必須經歷從數字到符號，從特殊到一般，從程序到結構的飛躍，每一步都是困難重重。

在這個過渡中，代數數學概念的“二重性”是人們碰到的最主要的一個障礙。所謂數學概念的二重性，是Sfard在皮亞杰反省抽象理論的基礎上，根據數學的特殊性提出的。Sfard（1991）認為，抽象數學符號 （如：未知數x）必須基于兩種不同的方法來思考，一為結構性（視為一個對象），一為操作性（視為一個過程）2。在代數中，如字母式a+32，既表示a與32相加這一個過程操作，又表現為對象、結構，即a+32的結果就是a+32。

代數概念的二重性，之所以難理解，不僅僅是因為它本身具有的抽象性，還在于對它的建構要抵制已有知識經驗的強烈負遷移。因為“式”如3+2算術中，其目的是為了求出算式的結果，是具有操作性的、表示過程的，學生潛意識中要把3+2計算為5；而在代數運算中是結構性的，是形式變換，關注結構，注重關系，此時的“式”除了體現過程外，更多是關系結構的形式化。也就說，學生對“式”的已有經驗在重構、擴充“字母式”表示數意義的過程中將變為負遷移。

在教學實踐中，相對應的干預策略：從易到難；鋪墊基礎；遷移比較。

從易到難：合理安排整節課的“序”（如圖2），把認識字母式概念的二重性放在最后。先經歷從數字到字母符號，字母表征的理解與使用是重要的轉折點；再從特殊到一般，字母表征只是進入代數思維的第一步，其背后的支撐是一般化的想法；最后是從程序到結構的思路，即通過比較認識到字母式概念的二重性（前文已有，不再累述）。

鋪墊基礎：理解“字母式”既能表示過程，又能表示“對象”的基礎是什么？Booth提出：“如果學生不能理解兩個集合（假定分別含有5個和8個）物件的總數可以寫成5+8，那么要他們理解a+b表示了兩個集合（分別含有a個和b個）物件的總數就更不可能了?！?顯然要改造學生已有的經驗，使他們認識到“算式”如5+8，也可表示“對象”。改造過程要結合“=”意義重構一起進行，“=”在算術中，代表運算得到結果，是具有方向性、程序性的。而在代數中，“=”代表一種等價關系，因此“=”左右兩邊需有同樣的大小，沒有方向性，具有結構性。因此教學要從重構“=”的意義開始。

師：在這些算式中“=”表示什么意思？

生：1+32=33……

生：小紅年齡加32等于爸爸的年齡。

師：左邊的1+32與右邊爸爸的年齡33是相等的。那“1+32”算式可表示爸爸的歲數？

生：可以表示，因為左右相等。

師：那你喜歡用1+32表示爸爸的年齡呢，還是喜歡用33來表示呢？

生：我喜歡33，因為它很清晰。

生：1+32，能看出爸爸的年齡，還知道比小紅大32歲。

生：我也選1+32，從“+32”可看出與爸爸年齡的關系。

……

遷移比較：代數思維是一種假設性的思維，它是建立在符號基礎上。當學生認為小紅的年齡是變化情況，假設用a表示時，就能從具體算式中自然地“遷移、概括”或利用爸爸與小紅之間不變的年齡關系“推理”出爸爸的年齡為a+32，這就自然地建構了字母式能表示對象的意義。再用圖8中的4+32與a+32同樣表示爸爸的年齡的對比中說不同之處，進一步強化a+32表示對象的意義。要想讓學生明白a+32的過程性，就必須要對這個“式”本身進行思辨，這樣的經驗對學生來說是比較缺乏的，因此在教學中，增加了另一個字母式即a+28。讓它產生于a的對比，從而理解a+28這個字母式包含的關系。

課件呈現：小紅的年齡a，賈老師的年齡a+28。

師：看呈現的數學信息，你知道了什么？

生：我知道了，賈老師比小紅大28歲。

師（追問）：你是怎么知道的？

生：賈老師的年齡是a+28，是用小紅年齡a加28得到的。

師：誰聽明白了？

生：可以從a+28與a比，知道賈老師是a加28，所以大28歲。

師：哦，原來a+28比a大28，反過來可以怎么說？

生：a比a+28小28。

師：這么說，a+28不僅可表示賈老師的年齡，還可表示賈老師與小紅年齡間的大小關系。那剛才的a+32又表示什么呢？

生：a+32表示了爸爸的年齡。

生：a+32不僅表示了爸爸的年齡，還可以看出爸爸比小紅大32歲這個關系。

課件呈現：a+32不僅可以表示爸爸的年齡，還可以表示爸爸與小紅的年齡關系。

師：根據剛才的經驗，看一看“（a+32）+30”會是誰的年齡？

生：我覺得是爺爺的歲數，因為a+32是爸爸的年齡，他比爸爸還要大30歲。

生：姥姥的歲數，因為（a+32）+30比a+32大30。

生：爸爸的長輩都有可能。

生：只要比爸爸大30歲的人都有可能。

師：（a+32）+30表示什么意思？

生：（a+32）+30表示比爸爸大30歲那些人的歲數，又可看出比爸爸大30歲。

在類比推理或從具體數字算式的概括中，初步認知字母式表示對象的含義。再在字母式與字母的比較中，認識字母式所蘊含的關系，在解釋、說理中領悟字母式的過程性。在實踐中可見，在說明字母式“（a+32）+30”表示誰的年齡時，對字母式表示的對象進行了又一次更深層次的抽象，在解釋過程中，又一次完成對象到過程的轉變。整個學習過程，使學生初步完成對字母式既表示“對象”，又表示“過程”的建構。

以上從實踐中而得的啟示，概而言之是以歷史發生原理為基礎，通過研讀符號代數的數學史，理解“符號代數”及“字母表示數意義”的關鍵步驟，結合學生個體認知特征，在現代情境下重構推動進化的關鍵思想或問題，使之貼合學生學習的思考路徑，然后從易到難給出上述重構的問題系列，展開課堂教學，將數學冰冷的美麗轉變成火熱的思考，有效解決學生學習過程中存在的問題與障礙。

（浙江省新昌縣城東小學 312500）