讓思維可見 讓學(xué)習(xí)發(fā)生課堂教學(xué)感悟系列

張玉平

[摘 要]為了讓數(shù)學(xué)課堂能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維價值，為了讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，教師要將靜態(tài)的教材變成動態(tài)的操作，從而切實提升學(xué)生的思維層次，讓學(xué)生逐步接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)。以“認識射線、直線和角”的教學(xué)片段為例，通過借助核心問題引領(lǐng)教學(xué)全過程，讓學(xué)生的思維產(chǎn)生激烈的碰撞，在碰撞中生成新思想、新方法，乃至新思維。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)問題

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）23-0023-03

數(shù)學(xué)概念是組成數(shù)學(xué)思維的基本要素，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的核心，概念教學(xué)一直都是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點。概念對于學(xué)生來說過于抽象，對學(xué)生的思維層次要求較高。因此，教師要通過提問，引領(lǐng)學(xué)生認清數(shù)學(xué)概念，促使學(xué)生生成新思維。

【片段一】

師（出示課題：射線和角）：之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了角，你們認識射線嗎？誰能舉一個生活中的例子來說明？

生1：舞臺頂部的燈往臺上照射的光線。

師：生1很快就想到燈射出去的光線，非常棒！現(xiàn)在我們來看一張城市夜景圖。（出示教材上例1的圖片）

師（出示卡片：數(shù)學(xué)問題1）：這些燈射出的光線都可以看作射線。請讀一讀、想一想，你能不能把這些光線畫下來？

（學(xué)生操作；教師巡視并收集學(xué)生的作品）

師：圖1是劉浩畫的，請劉浩來說說他畫的是什么。

生2：我畫的是射向天空的光束。

師：劉浩把射向天空的光束畫了下來，他觀察得很仔細。

師：再看裘思涵的作品（如圖2）。

生3：我在下面畫了一條橫線代表地平線，向上的線代表射向天空的射線。

師：比較劉浩和裘思涵的作品，你們有什么話要說？

生4：裘思涵用橫線代表地平線，就表示射線要從一個地方射出來，而劉浩的就看不出來是從什么地方射出來的。

生5：我覺得裘思涵畫的更簡潔。

師：對，你們都能用數(shù)學(xué)的眼光看世界和用數(shù)學(xué)的方法表達自己的看法。

師：現(xiàn)在請看岳詩琪的作品（如圖3）。請大家猜猜她是怎么想的。

生6：岳詩琪在下面畫了一個端點。

師：答對了！現(xiàn)在請岳詩琪說說她是怎么想到這樣畫射線的。

生7：我把線出發(fā)的地方用小圓點表示，由這一點射出可以射得很遠。

師：你為什么只畫一段？

生7：因為它是可以無限延伸的，所以另一端就沒有端點了。

師：這就是數(shù)學(xué)上所說的射線。射線有什么特點？

生7：都可以用一個端點和一條無限延長的線表示，可以向任何方向射出。

師：我們真的要感謝岳詩琪，不，是岳老師。她把射線畫得這么準(zhǔn)，又解釋得這么清楚。當(dāng)然，也要感謝劉浩和裘思涵，他們讓我們對射線認識得更深刻。

【自悟：在歐幾里得的《幾何原本》或希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》中，“點”“線”這些概念是沒有定義的。在《幾何基礎(chǔ)》中，“點”“直線”的概念是通過公理體系并由概念之間的相互關(guān)系來感性定義的。我們也知道，公理體系是一些約定為真的命題的集合，這種對命題“真”的約定來自于學(xué)生對命題與現(xiàn)實世界的相關(guān)性的感悟。因此，要讓學(xué)生感悟這一命題，必須讓學(xué)生感悟命題與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，感悟“點”和“線”的定義及兩者之間的關(guān)系。“點”是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，既可以表示大的物體，也可以表示小的物體，如籃球、汽車、地球等都可以用點來表示。因此，數(shù)學(xué)研究中所有的點都是一樣的，“點沒有部分（大小）”；點的運動可以形成各種各樣的線，如將人、籃球、汽車、地球等看成點，它們運動的軌跡不論寬窄，都可以看作線。因此，“線只有長度，沒有寬度”。點沒有維度，也不占據(jù)任何空間，如果二維中存在一個平面，一維中存在一條直線，那么點就是一個零維的物體。所以，小學(xué)教材都是以描述性的語言來定義此類概念的，射線也是如此。

蘇教版教材通過給出一個很好的生活實例來引出射線——射向天空的光線。這比教師用激光筆或手電筒在教室里演示更為直觀，有利于學(xué)生的認識與想象。我在聽課當(dāng)中曾遇到這樣的尷尬場景：教師打開手電筒射向教室外，學(xué)生認為光線被樹擋住了，教師提醒學(xué)生不要看樹，學(xué)生又認為光線被前面的樓擋住了，總也不相信這光線可以看成是射線。而本節(jié)課出示的城市夜景圖中，光線都射向天空，符合射線的三個要素：發(fā)光源—— 一個端點；射向天空——無限長；光線——直的，方向是多向的。這時，教師出示第一個問題（本節(jié)課我用了三張卡片，也就是三個數(shù)學(xué)問題，用紅色粉筆特別標(biāo)注出來，目的就是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待世界萬物，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言來描述世界萬物）“這些燈射出的光線都可以看作射線。請讀一讀、想一想，你能不能把這些光線畫下來？”學(xué)生根據(jù)自己的理解去表示，這個過程也是學(xué)生思維展示的過程，更是學(xué)生自主探索及學(xué)習(xí)的過程。對于學(xué)生作品的選擇，教師是帶有目的性的，劉浩的作品就是停留在直觀的層面，在他的眼中，光線是由多條線組成的，所有光束就有了粗細之分，但這不是數(shù)學(xué)概念上的射線，所以教師就把劉浩的作品安排在第一個展示。裘思涵畫出了地平線——知道射線要有起點，射向天空的光線不是用光束來表示，而是只用一條線——知道數(shù)學(xué)的表達。如何讓學(xué)生把地平線歸納為“點”？岳詩琪就做到了。對此，教師沒有直接肯定，而是讓學(xué)生思考：岳詩琪為什么這么畫？如何才是更好的表達？有了之前兩位學(xué)生作品的對比，學(xué)生的思維會轉(zhuǎn)到射線的本質(zhì)這個方向，學(xué)生對射線的理解也一步步走向深刻。】

【片段二】

師：黑板上有兩個點A和B。A是在直尺的10cm處，B是在直尺的40cm處。現(xiàn)在老師的粉筆從A點平移到B點，黑板上會出現(xiàn)什么？

生1：一條線段。

師：這條線段有多長？

生2：30厘米。

師：我們給這條線段起一個名，叫作線段AB，當(dāng)然也能叫作線段BA，也就是說線段AB長30厘米。你能不能把這條線段變成一條射線？

生3：可以，把一個端點去掉就行。

師：不管是把一個端點去掉，還是把其中的一個端點無限延長，都表示射線有一個端點，而另一端是無限長的（如圖5）。

師：這就是一條射線，我們把它叫作射線AB。還有第二種讀法嗎？

生4沒有，因為如果是射線BA的話，A是一個端點，過不去。

生5：如果是射線BA，說明端點應(yīng)該是B。

師：圖6中的線段AB變成了什么？為什么？

生6：變成了直線，因為兩邊都沒有端點，兩邊都可以無限延長。

師：如何讀這條直線？

生6：直線AB或直線BA。

師：給大家30秒時間想一想線段、射線、直線有什么不同的地方，然后用1分鐘時間與同桌交流。

師：可以從哪些方面去比較呢？

生7：從它們的出發(fā)點和結(jié)束點來考慮。

師：對，一個是從端點上比，還有一個是從長度上比。還有嗎？

生8：射線是從一邊射出去的，而直線的兩邊是無限延長的。

師：生8是從方向上進行對比。還有嗎？（教師用手指向黑板上的板書）

生9：從名字上，比如線段AB。

師：也就是從讀法上進行對比。今天的家庭作業(yè)是畫一張表，要求在表中填寫從長度、端點、方向和讀法四個方面去比較線段、射線和直線的不同。現(xiàn)在我們來看一個生活中的場景（如圖7）。

師：小明從家到學(xué)校有3條路可以走。一般情況下，你認為他會選擇第幾條路？為什么？

生10：選擇第②條，因為第②條最近。

師：從數(shù)學(xué)的角度思考問題時，我們可以把具體情境去掉。小明家用A點表示，學(xué)校用B點表示，得到圖8。

師（出示卡片：數(shù)學(xué)問題2）：連接兩點的線段的長度叫作這兩點間的距離。測量A、B兩點間的距離應(yīng)該選哪一條？

生11：應(yīng)該是第②條。

師：線段AB的長度就是A、B兩點間的距離。測量出線段AB長為30cm，現(xiàn)在可以怎么說？

生12：A、B兩點間的距離是30厘米。

【自悟：通過“點動成線”幫助學(xué)生正確感悟“點”“線”之間的關(guān)系，盡管這里探究的是初中的知識，但通過教師的語言描述，加上實際的操作，學(xué)生是能夠理解的。

比較幾個版本的教材，只有北師大版的教材介紹了線的表示方法，不過對于直線，則只介紹了一條直線可以用兩個大寫字母表示，如“直線AB或BA”，沒有介紹直線也可以用一個小寫字母表示，例如直線l、直線a。其實，學(xué)生掌握了這些知識，更利于用線的知識進行閱讀與交流，對后續(xù)的學(xué)習(xí)有促進作用。因此，“如何表示線”雖然不是課程標(biāo)準(zhǔn)中明確需要學(xué)生掌握的一個內(nèi)容，教師在課堂上還是進行了詳盡的講解，采用了教師教和學(xué)生自主悟兩種方式顯然是有利于學(xué)生認識和學(xué)習(xí)的。

對于兩點間的距離的認識，教師是從生活原型出發(fā)，讓學(xué)生根據(jù)自己的的生活經(jīng)驗得到“從家到學(xué)校，走中間的直線是最近的”，便于學(xué)生感悟“過兩點只能畫一條直線”，然后再抽象到數(shù)學(xué)的點線圖，從而得到從A點到B點有且只有一條直線。其中，線段長度就是“兩點間的距離”，從“線段AB長30cm”到“A、B兩點間的距離是30cm”，并不僅僅是讀法上的不同，更是思維上的、認識上的提升，對于這一點，要讓學(xué)生充分體驗和感受。】

【片段三】

師：請大家認真聽老師的要求，想想老師描繪的是一幅什么樣的圖，然后把它畫下來。

師：先畫一條射線OA，再畫一條射線OB。

（展示學(xué)生的作品，如圖9）

師：你是怎樣想的？

生1：因為老師要求畫兩條射線。

師：畫兩條射線是沒錯，但你是否聽清這兩條射線都有一個共同的字母O？

生1（恍然大悟）：我明白了！

（再次展示學(xué)生的作品，如圖10-1，10-2，10-3）

師：這是我們已經(jīng)學(xué)過的角。

師（出示卡片：數(shù)學(xué)問題3）從一點引出的兩條射線可以組成角。你能說出角的頂點和兩條邊嗎？

生2：角的頂點是O，兩條邊就是射線OA和OB。

師：角有特定的表示符號和讀法，如圖10-1中的角可以記作∠1，讀作“角一”。誰能表示圖10-2和10-3中的角？

師：不用考慮角的大小和朝向，因為表示角的符號是不變的。

【自悟：教材中的例2是從“以一點為端點，畫兩條射線”來引出角，但這個要求對于學(xué)生來說低了一點，只是操作層面的，所以教師將其改成“聽—想—畫”，讓學(xué)生有一個思考的過程，也就是對信息的加工過程。一開始，大多數(shù)學(xué)生是畫兩條單獨的射線，并沒有注意到信息中的重復(fù)字母“O”。當(dāng)然，從嚴(yán)格意義上來說，畫兩條單獨的射線也沒錯，但這里是想通過這樣的活動更好地促進學(xué)生思考。因此，當(dāng)教師提醒學(xué)生字母“O”時，學(xué)生都會恍然大悟。

對于角的符號“∠”，教師的板書一定要規(guī)范。蘇教版教材給出的“∠”的角度大概是45°，而人教版教材給出的“∠”的角度大概是50°。所以教師板書時要盡量和教材上的一致，不能太大也不能太小。

從學(xué)生家庭作業(yè)的反饋情況來看，全班47人，只有1人畫了空白的表格；40人都能從方向、長度和端點三個方面比較線段、射線、直線的不同，6人還從讀法上進行比較。】

總之，在教學(xué)中，核心問題的提出是建構(gòu)有效教學(xué)的根本，有了核心問題的引領(lǐng)，學(xué)生的思維才能產(chǎn)生碰撞，碰撞出矛盾，碰撞出智慧的火花，學(xué)生也就在碰撞中從解決問題一步步生成新思想、新方法，乃至新思維。

（責(zé)編 金 鈴）