經典再現舉一反三

鄭先明

在二次根式學習的過程中，題目很多，但題型是有限的，我們應該善于歸納經典例題，要學會舉一反三，從而達到會一題而會一類題.

一、二次根式有意義

例1 若二次根式[x-1]有意義，則x的取值范圍是 .

【分析】首先找二次根式的被開方數，根據二次根式的被開方數為非負數列不等式，然后解不等式.

【解答】由題意得[]，解得[x≥1].

拓展1：若[x+1x-1]有意義，則x的取值范圍是 .

【分析】本題在討論分式有意義時，不但要考慮二次根式有意義，還要考慮分母有意義.

【解答】由題意可得：[x+1≥0，x-1≠0，]解得：[x≥-1且x≠1].

拓展2：已知y=[2x-1+1-2x-2]，求xy的值.

【分析】通過觀察發現根號里面互為相反數，根據二次根式的被開方數為非負數知根號里的數只能為零，從而分別求出x，y的值.

【解答】因為2x-1[≥0，]1-2x[≥0，]所以2x-1[=0，]解得x=[12]，y=-2，所以xy=-1.

拓展3：若[（2016-m） 2+m-2017]=m，求代數式[m-20162]的值.

【分析】本題突破口仍然是二次根式要有意義.

【解答】 因為m-2017[≥0]，所以m[≥2017，]

所以[（2016-m） 2=2016-m]=[m]-2016，

因為[m]-2016+[m-2017=m，]

所以[m-2017=2016，]

所以[m-2017][=20162，]

解得[m-20162=2017].

二、分類討論在二次根式的性質中的應用

例2 化簡：[x2-4xy+4y2].

【分析】由二次根式性質：

[a2=a=][a，a≥0，-a，a≤0，]可知，我們需要對x2-4xy+4y2進行分類討論.

【解答】 因為[x2-4xy+4y2=（x-2y）2]=[x-2y].

當x-2y[≥0]時，原式=x-2y，

當x-2y[≤0]時，原式=2y-x.

拓展1：當x取某一范圍內的實數時，代數式[（1-x）2+（x-2）2]的值是一個常數，則這個常數是 .

【分析】由二次根式的性質[a2=a=][a，a≥0-a，a≤0]可知，我們需要對x進行分類討論.

【解答】[因為（1-x）2+（x-2）2]=[1-x]

+[x-2].

當x<1時，原式=1-x+2-x=3-2x，

當1[≤]x[<2]時，原式=x-1+2-x=1，

當x[≥2]時，原式=x-1+x-2=2x-3.

又因為已知[（1-x）2+（x-2）2]的值是常數，

則這個常數為1.

三、整體思想在二次根式中的應用

例3 計算：[（2-3-6）][（2+3]-[6]）

【分析】觀察發現括號里有兩項完全一樣，分別是[2]和[-6]，而[3]與[-3]互為相反數，那么，我們可以把[2]-[6]看成一個整體，然后利用平方差公式進行計算.

【解答】原式=[2-6-3× ] [2-6+3]

=[2-62-32]

=2+6-2[×2×6]-3=5-[43].

拓展1：已知[a2-3a+1=0]，求[a2+1a2+5]

的值.

【分析】當看到[a2]+[1a2]時，往往會聯想到[a]+[1a]這樣一個整體，因此我們可以將[a2]-3a+1=0的兩邊同時除以a，得到[a]-3+[1a=0]，從而構造整體.

【解答】因為[a2]-3a+1=0，所以[a-3][+1a][=0]，所以[a+1a=3，]兩邊同時平方，得[a+1a2]=9，所以[a2][+1a2]=7，所以原式=[7+5=23].

在二次根式這一章里，經典例題遠不止這些，希望同學們在平時學習時也能歸納總結，從而在做題時游刃有余！

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）