妙解反比例函數圖像題

萬廣磊

在全國中考數學試題中，綜合性較強的反比例函數問題一般在填空題或選擇題的最后一題，成為不少同學的攔路虎.如何巧妙降服這個攔路虎，本文介紹幾個神奇的妙招助你神攻.

一、“k”神附體

對于反比例函數中“y=[kx（k≠0）”]的幾何意義，結合圖像，我們可以這樣理解：

如圖1，過雙曲線y=[kx]（k≠0）上任意一點P分別作x軸、y軸的垂線PM、PN，所得矩形PMON的面積S=PM·PN=[y·x=xy=k].過雙曲線y=[kx]（k≠0）上的任意一點E作EF垂直于其中一條坐標軸，垂足為F，連接EO，則S△EOF=[k2].

例1 （2016·甘肅蘭州）如圖2，A、B兩點在反比例函數y=[k1x]的圖像上，C、D兩點在反比例函數y=[k2x]的圖像上，AC⊥x軸于點E，BD⊥x軸于點F，AC=2，BD=3，EF=[103]，則[k2-k1=]（ ）.

A.4 B.[143] C.[163] D.6

【解析】如圖3，連接AO、CO、DO、BO，因為S△AOC= S△AOE+S△EOC，所以[k12]+[k22]=[12]AC×OE.因為k1<0，k2>0，AC=2，所以[k2-k12]=[12]×2×OE，所以OE=[k2-k12].因為S△BOD= S△DOF+S△BOF，所以[k12]+[k22]=[12]BD×OF，又因為BD=3，所以[k2-k12=12×3×OF，]OF=[k2-k13.]又因為OE+OF=EF=[103]，所以[k2-k12+k2-k13=103] ，解得[k2-k1=4]，故選A.

二、巧設坐標

求與反比例函數的比例系數有關的代數式的值，一般要轉化為求點的坐標的問題，再充分利用已知兩點在反比例函數圖像上的特征，由圖像上點的橫縱坐標的積相等尋找等量關系，實現問題的轉化.

例2 （2016·江蘇揚州）如圖4，點A在函數y=[4x]（x>0）的圖像上，且OA=4，過點A作AB⊥x軸于點B，則△ABO的周長為（ ）.

【解析】設A點坐標為（a，b），則OB=a，AB=b，根據反比例函數的解析式和勾股定理得到方程組[ab=4，a2+b2=16，]整體變形得[（a+b） 2]=16+2×4=24，又因為a>0，b>0，所以a+b=[26]，則△ABO的周長為[26+4].故答案為[26+4].

本題若設A點坐標為（x，[4x]），則OB=x，AB=[4x]，運用勾股定理構建方程[x2]+[4x2]=16，解方程時出現了一元四次方程，其實可以將方程轉化為[x+4x2=24，]即可得到x+[4x]=±2[6]，再結合題意保留正數，但是相對比較煩瑣.

例3 （2016·山東菏澤）如圖5，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函數y=[6x]在第一象限的圖像經過點B，則△OAC與△BAD的面積之差S△OAC-S△BAD為（ ）.

A.36 B.12 C.6 D.3

【解析】設……