妙解反比例函數圖像題

萬廣磊

在全國中考數學試題中，綜合性較強的反比例函數問題一般在填空題或選擇題的最后一題，成為不少同學的攔路虎.如何巧妙降服這個攔路虎，本文介紹幾個神奇的妙招助你神攻.

一、“k”神附體

對于反比例函數中“y=[kx（k≠0）”]的幾何意義，結合圖像，我們可以這樣理解：

如圖1，過雙曲線y=[kx]（k≠0）上任意一點P分別作x軸、y軸的垂線PM、PN，所得矩形PMON的面積S=PM·PN=[y·x=xy=k].過雙曲線y=[kx]（k≠0）上的任意一點E作EF垂直于其中一條坐標軸，垂足為F，連接EO，則S△EOF=[k2].

例1 （2016·甘肅蘭州）如圖2，A、B兩點在反比例函數y=[k1x]的圖像上，C、D兩點在反比例函數y=[k2x]的圖像上，AC⊥x軸于點E，BD⊥x軸于點F，AC=2，BD=3，EF=[103]，則[k2-k1=]（ ）.

A.4 B.[143] C.[163] D.6

【解析】如圖3，連接AO、CO、DO、BO，因為S△AOC= S△AOE+S△EOC，所以[k12]+[k22]=[12]AC×OE.因為k1<0，k2>0，AC=2，所以[k2-k12]=[12]×2×OE，所以OE=[k2-k12].因為S△BOD= S△DOF+S△BOF，所以[k12]+[k22]=[12]BD×OF，又因為BD=3，所以[k2-k12=12×3×OF，]OF=[k2-k13.]又因為OE+OF=EF=[103]，所以[k2-k12+k2-k13=103] ，解得[k2-k1=4]，故選A.

二、巧設坐標

求與反比例函數的比例系數有關的代數式的值，一般要轉化為求點的坐標的問題，再充分利用已知兩點在反比例函數圖像上的特征，由圖像上點的橫縱坐標的積相等尋找等量關系，實現問題的轉化.

例2 （2016·江蘇揚州）如圖4，點A在函數y=[4x]（x>0）的圖像上，且OA=4，過點A作AB⊥x軸于點B，則△ABO的周長為（ ）.

【解析】設A點坐標為（a，b），則OB=a，AB=b，根據反比例函數的解析式和勾股定理得到方程組[ab=4，a2+b2=16，]整體變形得[（a+b） 2]=16+2×4=24，又因為a>0，b>0，所以a+b=[26]，則△ABO的周長為[26+4].故答案為[26+4].

本題若設A點坐標為（x，[4x]），則OB=x，AB=[4x]，運用勾股定理構建方程[x2]+[4x2]=16，解方程時出現了一元四次方程，其實可以將方程轉化為[x+4x2=24，]即可得到x+[4x]=±2[6]，再結合題意保留正數，但是相對比較煩瑣.

例3 （2016·山東菏澤）如圖5，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函數y=[6x]在第一象限的圖像經過點B，則△OAC與△BAD的面積之差S△OAC-S△BAD為（ ）.

A.36 B.12 C.6 D.3

【解析】設B的坐標為（a，b），因為反比例函數y=[6x]在第一象限的圖像經過點B，則有ab=6.又因為△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，S△OAC=[12]OC2，S△BAD=[12]BD2，則S△OAC-S△BAD=[12]（OC2-BD2）=[12]（OC+BD）（OC-BD）=[12]·（OC+BD）（AC-AD）=[12]ab=[12]×6=3，故選D.

三、巧設參量

根據平面直角坐標系內線段的特征，用參量巧妙設出與坐標軸平行線段的長，進而得到有關點的坐標，再結合解析式進行運算.

例4 （2016·山東濱州）如圖6，已知點A、C在反比例函數y=[ax]的圖像上，點B、D在反比例函數y=[bx]的圖像上，a>b>0，AB∥CD∥x軸，AB、CD在x軸的兩側，AB=[34]，CD=[32]，AB與CD間的距離為6，則a-b的值是 .

【解析】如圖7，過點A、B分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別是F、E、P，設OE=x，OP=m，則點B的坐標為（x，m），點A的坐標為（x+[34]，m），將點A和點B的坐標依次代入y=[ax]與y=[bx]，可得mx=b與m（x+[34]）=a，所以b+[34]m=a，整理得m=[43]（a-b），設OQ=n，同理可得b+[32n]=a，即n=[23]（a-b），根據m+n=6，可得[43]（a-b）+[23]（a-b）=6，解得a-b=3.故答案為3.

例5 （2016·湖北十堰） 如圖8，將邊長為10的正三角形OAB放置于平面直角坐標系xOy中，C是AB邊上的動點（不與端點A、B重合），作CD⊥OB于點D，若點C、D都在雙曲線y=[kx]（k>0，x>0）上，則k的值為（ ）.

A.25 B.18 C.[93] D.[9]

【解析】如圖9，過點D作DE⊥OA于點E，過點C作CF⊥OA于點F.容易知道：△CFA、△CDB、△DEO都是含30°角的直角三角形，設AF=t，則CF=[3t]，OF=10-t，AC=2t，則有C（10-t，[3t）]，然后，BC=10-2t，BD=5-t，OD=5+t，OE=[5+t2]，DE=[3（5+t）2]，所以有D（[5+t2]，[3（5+t）2]），把點C和點D的坐標代入y=[kx]中，得：（10-t）×[3]t=[3（5+t）2]×[（5+t）2]，運用后面將學到的一元二次方程的解法可得：t=1或t=5（不合題意，舍去），進而解得k=9[3].故選C.

四、“相似”助攻

如圖10，直線OA分別交反比例函數y=[k1x]（k1≠0）和y=[k2x]（k2≠0）在第一象限的圖像于點A、B，則[OBOA=k2k1]（該結論可以用后續學習到的相似三角形進行證明）.

例6 （2016·浙江寧波）如圖11，點A為函數y=[9x]（x>0）圖像上一點，連接OA，交函數y=[1x]（x>0）的圖像于點B，點C是x軸上一點，且AO = AC，則△ABC的面積為 .

【解析】作AD⊥OC于D，∵AO = AC，∴OD=CD，∴S△AOC=2S△AOD= 2×[92]=9，結合上述結論可知：[OBOA=][19]=[13]，∴[ABOA]=[23]，∴S△ABC=[23]S△AOC= [23×9=6]，故答案為6.

（作者單位：揚州大學附屬中學東部分校）