類比

楊小強

[摘 要] 隨著新課改的不斷深入，學生的主體地位愈發顯得突出. 一方面，由于高中數學的實踐性、探究性以及抽象性等原因，給學生們的解題帶來了巨大的困擾，這也正是學生們成績很難取得高分的直接性原因之一；另一方面，在以學生為教學主體的教學體制下，教師的教學也面臨著巨大的挑戰，一貫的“填鴨式”教學，已不再適應當下的學生情況. 如何提升學生的學習效率，讓學生的學習成績和學習能力“更上一層樓”，成為當下教師的主要任務.

[關鍵詞] 高中數學；類比思想；數學方法

在實際教學中，筆者發現大多數的教師側重于教會學生解題的過程，而往往忽略了解題的方法，使得大多數的學生不能隨機應變，稍微改動一下題型，學生就無從下手，導致學生的數學成績一直提升緩慢. 由于高中數學的知識點共性比較多，有時一個題型往往會涉及好幾個知識點，而加上學生們不善于歸納總結自己的錯誤，沒有養成錯題回顧的習慣，因此，在打牢基礎的情況下，更重要的是數學方法的學習，這其中，類比教學的方法，就可以有效地幫助學生運用類比的思想去梳理、整合知識點，來提升數學能力.

[?] 穿針引線，巧妙連接知識點

高中的數學內容不同于初中的數學，雖然內容看似復雜，但是基本都是很明確的知識點. 因此，高中生數學成績有差距，究其原因是基礎知識的差距！正是因為學生們基礎知識不牢固的原因，才會有成績一直徘徊不定的現象.而作為高中的數學教師，不能僅僅關注學生的學習成績，而是要透過現象發現學生的問題以及教學的問題，暴露現象的本質，并且為學生提供合適的改進方式，去幫助學生們發現自己的問題.在課堂上，筆者經常會引導學生運用類比的思想去分析、總結知識點之間的聯系，找出其相似的地方，進行歸納，再一次強化知識點！

例如，在教學圓錐曲線這部分內容時，筆者設計了這樣一道題：已知一橢圓的中心與焦點分別在原點、x軸上，并且此橢圓與雙曲線有著共同的焦點F1，F2，并且

F1F2

=2，橢圓的長半軸與雙曲線的實半軸之差是4，二者的離心率之比是3∶7，試求二者的曲線方程.

這是一道考查橢圓與雙曲線關系的解析幾何題，這類題抽象性比較強. 橢圓與雙曲線的知識點雖然比較獨立，但是其之間又有著緊密的聯系. 因此，筆者通過設計這道題，就是為了讓學生們在課堂上比較橢圓與雙曲線之間的異同. 學生們通過討論，就會發現，橢圓與雙曲線有著非常相似的定義，只是在離心率上有著不同，即：橢圓的離心率01；其次，是在符號上有著不同，橢圓是求平面內到兩個點的“和”，而雙曲線則是求“差”.

通過設計這么一道解析幾何類的題，學生們就會通過兩者間的對比，發現橢圓與雙曲線之間的異同，使得學生對類比的思想有了一個簡單的認識.通過對類比思想潛移默化的教學滲透，大大地提升了學生對知識的掌握程度，對橢圓與雙曲線的認識有了一個更深的階段.因此，運用類比的思想，是提升學生們數學學習能力的一把利刃.

[?] 依托概念，學會理解性記性

高中數學概念性比較強，整個高中教材的設計沒有過多的廢話，直接點名主旨. 然而，這也無形間加大了學生們理解性記憶的難度，給學生學習數學帶來壓力.而概念支撐著數學的知識點，可以說概念是一種數學的表達. 因此，如何提升學生們對概念的掌握與理解成為教師們教學的重難點. 利用類比的思想，就會加深學生對概念的理解，提升學習的效率.

例如，當給學生們講到指數函數與對數函數這一節時，由于指數函數與對數函數的知識較為抽象，故一些基礎較為薄弱的學生學習起來會有難度.在做題中，筆者發現學生存在定義運用不準確導致做錯題的現象，這時，筆者就會慢慢地將“類比”的思想不斷地深入，讓學生們對二者的圖像、單調性、定義域等進行對比，歸納總結，學生們彼此交流，發現：指數函數的定義域等于對數函數的值域；對數函數的定義域等于指數函數的值域；底數決定其單調性.

通過學生間的自主交流與總結，學生們收獲了知識；通過對類比思想的滲透，大大地加深了學生們對這兩個知識的理解性記憶. 利用類比的教學方法，學生會將相關概念爛熟于心，做到真正的理解性記憶，同時也會幫助學生提升自身的能力，將知識牢牢掌握在心中.

[?] 玩轉公式，用定理舉一反三

高中數學學習中，除了概念以外，還有一個比較重要的就是“公式”，高中數學中，教材上出現密密麻麻的“公式”，它是用數學的語言在傳遞著某個等價的關系. 因此，公式就是學生學習數學的基礎，縱使題型千變萬化，但是無論如何變化，都是圍繞著公式進行轉換的. 在公式的學習中，筆者也會加入“類比”的數學思想，讓學生們充分地理解公式并且能夠靈活運用.

例如，在講解解三角形這一節時，學生們對于正弦定理與余弦定理的理解不是很深入.筆者在實際的教學中，通過學生反饋出來的信息與情況，讓學生將正弦定理與余弦定理進行比較，學生間進行交流討論，然后歸納總結，加深學生對兩個公式的理解. 而不是像傳統的教學一樣，只顧著讓學生死記硬背，只有搞清楚公式的由來與演變，才能做到真正的運用.

學生們通過對正弦定理與余弦定理的類比，發現了兩者的異同，這對牢固掌握正弦定理與余弦定理起到了極大的幫助. 學生們只有正確地掌握了公式，才能在運用中不會出現問題，通過用類比的思想去學習，極大地減輕了學生們學習的負擔.

[?] 總結歸納，讓意識由淺入深

高中數學教材的設計是循序漸進，由淺入深的，學習也是一樣，要不斷地加深自己的難度，才會有所突破. 高中的數學，對于學生基礎知識的掌握要求非常高，而緊密的一連串的數學知識環環相扣，使得學生隱約間有了許多壓力. 而怎么樣提高學生的數學學習能力，正確的解題思路以及為學生提供一種正確的思維方式的引導，是教師們一直追求的目標.筆者在教學過程中，就會不斷地培養學生的這種意識，運用“類比”的思想，讓學生學會對比，不斷地交流，歸納總結，讓學生的意識由淺入深.

例如，在探討解析幾何類問題時，筆者給學生們設計了這樣的一道題：現有雙曲線方程x2-y2=1，點P（a，b）為雙曲線左支上的任意一點，其到直線y=x的距離是，求出a+b的值.

此道題學生的正確率不高，而究其原因是學生們在解題的過程中忽略了已知條件P（a，b）的位置，才導致直接由=推導出a-b=±2，最后求解出結果為a+b=±. 這是大多數學生犯錯的原因，這種解法顯然是錯誤的. 通過學生對自己的錯誤解法的重新思考，可以從客觀的角度幫助學生認識到自身的不足，以及考慮問題的全面性.

在橢圓與雙曲線的練習中，拋物線的知識點是學生學習的不足之處，較多相似的知識點綜合在一起考查，容易將學生們的思維攪亂，這也是對學生基礎知識是否扎實的一個檢測. 筆者在實際的教學中，通過類比的思想，將學生們的錯題進行整合，幫助學生通過做一道題解決一類題. 升華學生的意識，運用類比的思想，讓學生明白學習是需要歸納與總結的，要不斷地反思自己的錯題，將其拿出來，放到一處進行類比，潛移默化地加上學生的意識，提高學生的學習效率.

總之，作為教師，我們應從學生的角度出發，轉變自己傳統觀念，為學生學習成績的提升找到合適的方法，提升其學習能力. 教會學生運用好類比思想，不斷將知識點、定義、公式以及題型進行類比，讓數學學習“更上一層樓”.