從一個等式出發解一類分式問題

詹長青 徐衛國

詹長青中學一級教師，曾獲浮梁縣優秀教師和優秀黨員稱號。多年來教學成績突出，為農村教育事業獻出了自己的愛心和力量。

徐衛國中學高級教師，省級骨干教師，“希望杯”數學競賽教練，教師遠程培訓輔導教師，在《數理天地》、《中學生數學》、《中學數學教學參考》等報刊雜志上發表文章幾十篇。

由a+b+c=0可得以下五個結論：

（1）a+b=-c;

（2）a2+b2-c2=-2ab;

（3）a2+b2+c2=-2（ab+bc+ca）;

（4）1a2+1b2+1c2=1a+1b+1c2;

（5）a3+b3+c3=3abc.

前面三個結論非常容易得到，下面對結論（4）、（5）進行證明.

結論（4）證明：

因為1a+1b+1c2

=1a2+1b2+1c2+2ab+2ac+2bc

=1a2+1b2+1c2+2×c+b+aabc，

又因為a+b+c=0，

所以1a2+1b2+1c2=1a+1b+1c2.

結論（5）證明：

因為a3+b3+c3-3abc

=（a+b）3-3a2b-3ab2+c2-3abc

=[（a+b）3+c3]-（3a2b+3ab2+3abc）

=（a+b+c）[（a+b）2-c（a+b）+c2]

-3ab（a+b+c），

又因為a+b+c=0，

所以a3+b3+c3-3abc=0，

即a3+b3+c3=3abc.

對于條件中含有a+b+c=0的分式問題，靈活運用上述五個結論，就能迅速解決問題.

例1 若a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，求（a+b）（a+c）（b+c）abc的值.

分析 本題可分類討論，若a+b+c≠0，利用等比定理能求值;若a+b+c=0，直接利用結論（1）求解.

解 （1）若a+b+c≠0，由等比定理得，

a+b-cc =a-b+cb=-a+b+ca

=（a+b-c）+（a-b+c）+（-a+b+c）a+b+c

=1.

所以a+b-c=c，

a-b+c=b，

-a+b+c=a，

所以（a+b）（a+c）（b+c）abc=2c·2b·2aabc=8.

（2）若a+b+c=0，則

a+b=-c，

b+c=-a，

c+a=-b，

所以（a+b）（a+c）（b+c）abc

=（-c）（-a）（-b）abc=-1.

例2 設有理數a，b，c都不為零，且a+b+c=0，則1b2+c2-a2+1c2+a2-b2+1a2+b2-c2的值是（）

（A）正數. （B）負數.

（C）零.（D）不能確定.

分析 本題可以直接利用結論（2）將分母化簡，然后通分即可.

解 由結論（2）知，

原式=1-2bc+1-2ac+1-2ab

=a+b+c-2abc=0.

故選（C）.

例3 已知實數a，b，c滿足a+b+c=0，abc=4，那么1a+1b+1c的值是（）

（A）正數. （B）負數.

（C）零.（D）可正可負.

分析 因為1a+1b+1c=bc+ac+ababc，

所以只要確定bc+ac+ab的符號.

解 由結論（3）知，

ab+bc+ca=-a2+b2+c22，

又因為a≠0，b≠0，c≠0，

所以a2+b2+c2>0，

所以ab+bc+ca<0，

所以1a+1b+1c

=bc+ac+ababc=bc+ac+ab4<0.

故選（B）.

例4 已知a+b+c=0，1a+1b+1c=-4，那么1a2+1b2+1c2的值為（）

（A）3. （B）8. （C）16. （D）20.

分析 直接用結論（4）即可得到答案.

解 由結論（4）知，

1a2+1b2+1c2

=1a+1b+1c2=（-4）2=16.

故選（C）.

例5 已知abc≠0，且a+b+c=0，則a1b+1c+b1c+1a+c1b+1a的值為（）

（A）0. （B） 1. （C）-1. （D）-3.

分析 在化簡過程中利用結論（1）、（5）就能迅速求值.

解 原式

=a（b+c）bc+b（a+c）ac+c（a+b）ab

=-a2bc-b2ac-c2ab

=-a3+b3+c3abc

=-3abcabc=-3.

故選（D）.