淺談數(shù)形結(jié)合思想在大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用

肖梅

摘 要：數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個重要方面，本文利用數(shù)與形的結(jié)合解決大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中的一些問題，使較為復(fù)雜的問題直觀而形象的得以解答。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；競賽；應(yīng)用

一、引言

大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的舉辦可以促進(jìn)高層次人才的培養(yǎng)，選拔許多有創(chuàng)新精神的優(yōu)秀者，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情，因此，每年許多高校都會舉辦、選拔優(yōu)秀學(xué)生參與大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究中，會靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來解決問題又十分關(guān)鍵。在大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中常會用到反證法，數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)學(xué)歸納法等等來幫助解決問題，那么本文將淺談數(shù)形結(jié)合思想在大學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用。

二、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合主要是指數(shù)與形的結(jié)合，是一種思維轉(zhuǎn)換思想，是將抽象問題直接地，簡單地呈現(xiàn)出來，幫助學(xué)生分析問題，解決問題。

數(shù)和形是數(shù)學(xué)中被研究得最多的對象，數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換，數(shù)學(xué)上總是用數(shù)的抽象性來說明形象的事實(shí)，同時又用圖形的性質(zhì)來說明數(shù)的事實(shí)。它的優(yōu)越性在于將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀，根據(jù)解決問題的需要，溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，由數(shù)構(gòu)形，以形促數(shù)，或由形的思想，以數(shù)論形。運(yùn)用這種思想，可以把抽象的“數(shù)”轉(zhuǎn)化為直觀的“形”，加大解題的透明度，避免繁瑣的運(yùn)算過程.這樣簡捷解題，能提高解題速度和提高解題的完整性。

三、數(shù)學(xué)結(jié)合思想實(shí)例

（1）數(shù)與形在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，例如某些代數(shù)問題往往有幾何背景，利用其幾何背景的性質(zhì)，可以使得復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，抽象的概念變得直觀，從而容易找到解決問題的思路。

例1計(jì)算[Dx2y2dxdy]，其中D由直線y=0，y=2，x=-2和曲線[x=-2y-y2]所圍成。

解析：在直角坐標(biāo)系中作出積分區(qū)域的草圖可知，積分區(qū)域是弧形，可以考慮極坐標(biāo)變換，從而能計(jì)算出結(jié)果。

[Dx2y2dxdy=-20dx02x2y2dy-π2πdθ02sinθ（rcosθ）2（rsinθ）2rdr]

=[649-7π48]

（2）數(shù)形結(jié)合思想可以使得抽象的復(fù)雜問題簡單化，巧用數(shù)形結(jié)合的方法可以避免復(fù)雜的計(jì)算和推理，大大簡化解題的過程，在競賽中既能準(zhǔn)確得出結(jié)果，也能幫助節(jié)約時間。

例2一半徑為[a]的圓面繞其所在平面內(nèi)與圓心相距為[b（b>a）]的一條直線旋轉(zhuǎn)180度，問當(dāng)[ba]為何值時，旋轉(zhuǎn)所生成的立體的重心位于立體的表面上？

解析：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使旋轉(zhuǎn)所生成的立體的重心易于計(jì)算，在根據(jù)圖形特點(diǎn)找到重心位于立體表面上的條件從而算出[ba]的值。

首先建立坐標(biāo)系：把母圓開始所在的平面作為xOz平面，則母圓方程為[（x-b）2+z2=a2]，把旋轉(zhuǎn)軸作為z軸，則生成的立體為一半環(huán)體，環(huán)面的方程為[（x2+y2-b）2+z2=a2]，由圖形的對稱性可知，重心在[y]軸上，設(shè)為[（o，y，0）]，若重心位于立體的表面上，則有[y=b-a]。又重心公式可知：

[y=ΩydVΩdV=20πdφb-ab+aρdρ0a2-（ρ-b）2ρsinφdz20πdφb-ab+aρdρ0a2-（ρ-b）2dz]

[=4πb-ab+aa2-（ρ-b）2ρ2dρ2πb-ab+aa2-（ρ-b）2ρdρ]

[=a2+4b22πb]。

四、結(jié)束語

恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)”。對所要解決的問題如果能夠意識到數(shù)形聯(lián)系，尋覓到對應(yīng)的幾何圖形特征，思維就會茅塞頓開，問題就會迎刃而解。數(shù)形結(jié)合思想在大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中作用十分強(qiáng)大，應(yīng)用也十分廣泛，在此不一一舉例，靈活運(yùn)用這一思想是關(guān)鍵。

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