初中數學常見的確定函數自變量的取值范圍類型

陳基澤

確定函數自變量的取值范圍時，通常從以下幾個方面來考慮：

（1）當解析式為整式時，自變量的取值范圍是一切實數；

（2）當解析式為分式時，自變量的取值范圍是使分母不為零的一切實數；

（3）當解析式是偶次根式型：取值范圍是使被開方式非負的實數。

（4）函數關系式含0指數和負整指數冪：底數≠0

（5）當解析式是由上述幾種形式組合而成時，應首先求出式子中各部分的取值范圍，然后再求出它們的公共部分；

（6）當函數涉及實際問題時，自變量的取值范圍要使該問題有意義。

⑴自變量自身表示的意義.如時間、用油量等不能為負數.

⑵問題中的限制條件.此時多用不等式或不等式組來確定自變量的取值范圍.

（7）幾何圖形中函數自變量的取值范圍

幾何問題中的函數關系式，除使函數式有意義外，還需考慮幾何圖形的構成條件（面積是正數）及運動范圍（線段是正數）.特別要注意的是在三角形中“兩邊之和大于第三邊”

下面結合例題加以分析

例1 求下列函數中自變量的取值范圍：

（1）y=2x-4； （2） ； （3） ；

（4） 。 （5） y=（x-3）0

分析：根據開頭提到的五個方面進行思考即可。

解：（1）因為2x-4是整式，所以自變量 可取一切實數；

（2）因為 是分式，所以當x-1≠0時， 才有意義。

所以自變量x取x≠1的所有實數；

（3）因為 是二次根式，所以當2x-6≥0時， 才有意義。

所以自變量 的取值范圍是 ≥3；

（4）由 得 且 ≤3。

所以自變量 的取值范圍是 ≤3且 。

（5）含0指數，底數x-3≠0 ∴x≠3，x的取值范圍為x≠3

例2 甲到乙的鐵路長為360千米，一列火車以90千米/時的速度從南京開往上海，h小時后火車距甲s千米，用解析式表示s與h之間的函數關系，并求自變量h的取值范圍（不考慮停站時間）。

分析：火車速度為90千米/時，h小時所行的路程為90h千米，于是s=311-90h。只對函數解析式而言，自變量的取值范圍是全體實數。但h表示火車行使的時間，所以自變量h的取值范圍是0≤h≤4。

例3.若等腰三角形的周長為40cm，請寫出底邊長y與腰長x的函數關系式，并求自變量x的取值范圍.

解析：底邊長y與腰長x的函數關系式為：y=40-2x

①x表示等腰三角形腰長：x>0

②三角形中“兩邊之和大于第三邊”：2x>y 即2x>40-2x ∴x>10

③等腰三角形底邊長y>0，40-2x>0，∴x<20

∴自變量x的取值范圍是：10

總之，確定函數中自變量的取值范圍時，首先應找準函數所屬的類型，然后根據不同的類型運用相應的方法來加以確定，這樣能快速、準確地解決問題，從而收到事半功倍的效果。

另外要注意的是：一次函數和反比例函數的系數k≠0取值范圍 ，以及二次函數系數a≠0 取值范圍。

參考文獻：

[1]楊品方.貌似神離的兩類恒成立[J]；中學教研（數學）；2011年09期

[2]馮少華.利用函數定義域解題[J]；青蘋果；2002年12期