數學語言轉換實踐研究

覃江濤

摘要：數學語言是數學知識與數學思維的載體，是數學交流、表達的工具。本論文介紹了新課程背景下高中數學教育 “重視數學語言轉換”實踐中的一些具體做法及思考。

關鍵詞： 數學語言；數學語言轉換；概念教學；解題教學；體系建構；思維訓練

數學語言是數學知識與數學思維的載體，是數學交流、表達的工具，學生掌握了數學語言就等于掌握了進行數學思維、數學表達和數學交流的工具。有學者認為，數學學習過程就是將數學知識和數學思想通過數學語言內化為認知結構的過程。本文中數學語言轉換包括數學語言不同形式之間的相互轉化以及數學語言和自然語言之間的轉換。

一、數學語言轉換作為概念教學的設計主線

數學教育專家喻平認為，數學概念的學習包括了概念形成、概念同化和語言學習。有的概念，是直接通過語言的學習獲得概念。

（一）教學實例

《必修1》單調性概念建構的教學片段設計。

給出函數 。

問題1：觀察函數圖像，歸納升降特征。引導學生用圖示語言形式直觀地感知“單調”，初步提出單調性定義。

問題2：圖像特征反映數量關系變化，用自己的話描述當自變量變大時函數值的變化情況。通過轉換成文字語言形式的敘述，讓學生更能夠把握特征。

問題3：如何用數學符號語言表達變量 、 間的增減趨勢？第3問具有較高的思維要求，在學生討論、交流后，形成抽象的符號化定義。如果對于定義域 內的某個區間 上的任意兩個自變量的值 、 ，當 < 時，都有 < （ > ），那么就說函數 在區間 上是增（減）函數。

在教學片段設計中，圍繞不同數學語言形式轉換的主線，通過預設3個遞進層次的問題讓學生開展舉例、操作、觀察、歸納等活動，從直觀認識到最后獲得形式化定義。

（二）教學思考

在教學設計實例中，充分尊重了“自主探究、動手實踐、合作交流、注重思維、重視過程”的新課程理念。發揮學生的主體性，學生親歷數學概念的生成過程，主動同化和深化概念。在概念學習過程中數學語言轉換成為了引導學生認知過程的活動主線，圖示語言提供形象支持，文字語言幫助理解內涵，符號語言準確揭示本質。激活和發展了數學思維，學生能夠從多角度去認識和表達數學概念。同時培養了學生良好的數學學習習慣，注重對數學對象本質的探究分析，從本源處著手數學應用。事實上，數學語言轉換成為了概念教學的設計主線。

二、數學語言轉換作為解題教學的思維主線

（一）教學實例

已知 ，若 在 時恒成立，求實數 的取值范圍。

分析：題目條件以符號語言形式呈現，需要學生用自己通俗的語言（文字語言）表述出來。題目中函數 的所有函數值都不小于0，聯系函數性質，理解為函數 的最小函數值不小于0。審題環節的關鍵就在于將符號語言和文字語言進行轉換。

（二）教學思考

以上分析過程可以看出，數學解題過程從一定角度看就是不同數學語言形式相互轉換的過程。一般來說，數學問題的解決過程首先是將已知表述形式轉換為自然語言，學生能夠用自己的話陳述問題，易于把握問題的實質，也更易于和已有知識和已經解決的問題進行聯系。在數學對象表述形式的不斷轉換過程中實現問題的轉化、化歸或構造，從而找到解決辦法。

三、數學語言轉換作為建構知識體系的特別視角

《課程標準》指出，函數思想、幾何運算思想等都是高中數學課程的主線，彼此聯系，貫穿高中數學課程，善抓主線，整合相關內容才能整體把握高中數學課程。以下是用函數（對應）的思想去理解解析幾何相關內容，重構高中數學兩大版塊認知體系。

解析幾何部分給出曲線方程的概念，在直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）=0的實數解建立了如下的關系：（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點。那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。

函數解析式y= 實質可以看成是關于兩個變量x，y的方程，當然通常情況下這個方程有無數組解，方程y= 的解和函數圖像上的點（x，y）建立一一對應關系。

比較可以發現：函數從圖式語言來分析就是一類滿足特定條件的曲線，函數從符號語言形式來分析就是具有特定條件的方程。因此，曲線和方程的概念具有更大的外延，兩者有重疊的內涵。宏觀上都是非空數集間的一種對應，微觀上都是在刻畫兩個變量間的對應關系。

這樣的知識建構對于認識解析幾何的對象和任務會更加清晰，也是拓展了“函數思想”這條高中數學課程主線。

四、數學語言轉換作為思維訓練的重要載體

思維訓練的重要方法就是一題多解和多題一解，可以引導學生科學的思考，對于培養學生思維的發散性、靈活性大有裨益。一題多解、多題一解的本質在于“同一個數學對象可以有不同的表述形式，同一表述形式可以反映不同的數學對象”。需要說明的是，數學語言轉換包括不同語言形式間的轉換，也包括不同數學體系內表達形式的轉換。

（一）教學實例

已知實數 滿足 ，求 的最大值。

分析1：將題目轉換為圖式語言來理解，平行直線簇 與單位圓 在有公共點的條件下，求縱截距最大值的3倍。

分析2：題目可以在三角函數體系內來理解，已知實數 滿足 （ ），求 的最大值。

分析3：題目可以轉換成極坐標條件來理解， ，其中極徑 ，極角 ，求 的最大值。

分析4：題目可以在復數背景下來完成，已知復數 ，求 的最大值。

（二）教學思考

通過數學語言的轉換，打通不同數學體系來研究、表達同一數學對象，讓學生置身于廣闊的信息交流場中，增加了信息量，提高了信息質量，加速了信息傳遞速度。對于學生思維能力的發展，尤其是思維的廣闊性、創新性作用明顯。

五、結語

數學語言的轉換對于知識學習、問題解決、思維能力培養、交流與表達能力培養都密切相關。“數學語言的轉換”在高中數學教學中有著目標和手段的雙重重要作用，教師和學生必須給予重視。但是需要指出一點的是，不是所有知識的獲得和問題的解決都需要進行數學語言轉換，轉換是一種思想方法，而不是唯一的手段。

參考文獻：

[1] 黃翔.數學方法論選論[J].重慶大學出版社，1995.116-117.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[J].人民教育出版社，2003.