借助二次函數銜接初高中數學

王克勤++梅紹蘭

【摘 要】初高中數學教學銜接不順暢是新課標下普遍存在的問題。二次函數是貫穿初高中數學教材的重要函數之一，是初高中數學典型的銜接知識。二次函數是初高中函數的重點內容之一，也是解決函數概念銜接的入口和突破口。教師，必要對初高中數學銜接教學進行研究。

【關鍵詞】初高中；二次函數；教學銜接

二次函數本是初中數學學習的重點和難點，但由于初中教學要求僅限于根據具體的表達式作圖、確定函數解析式和理解函數的基本性質等，且受初中學生認知水平的限制，很難從本質上深入理解。而高中教材又沒有設計獨立的章節引導學生對二次函數的升級學習，教學預期中都認定學生已經對此熟練了。于是，隨著函數概念、性質的深入學習，看似熟悉的二次函數，學生卻不能很好的借此內化新知識，反而成為高一新生的第一個難路虎。能否順利消滅這第一個難路虎，決定著高中數學學習的成敗和信心。

函數在高中數學的學習中起著主導作用，從函數的核心概念及呈現方式可以發現二次函數在其中扮演著非常重要的角色，很多數學問題因二次函數的介入和轉化變得樸實而簡單。因此，以二次函數的升級教學為重要切入口，從函數與方程、不等式、數形結合、分類討論等幾個方面做好初高中數學的銜接教學，尤為有效。

一、借助二次函數和一元二次方程的關系銜接函數與方程的思想

二次函數是初中階段最后一次研究函數的內容，對二次函數與一元二次方程的教學，許多教師感到難以把握，主要原因之一是本節教學內容牽扯到的知識點較多，有大部分學生對舊知識點的掌握本身就不是特別牢固，教師對教學的深淺度不太容易把握；原因之二是本節中運用了各種數學思想方法，都是初中數學中對學生所要培養的重要思想。可以說本節內容是初中代數各種知識與思想的集體展現，是初中代數的一個總結。

本節教學可采取先通過對一次函數與一元一次方程關系的簡單回顧，再通過觀察二次函數y=x+3x+2的圖象與x軸有幾個交點，交點的橫坐標與一元二次方程x+3x+2=0的根有何關系，進而總結得出一元二次方程ax+bx+c=0，當△=b-4ac時該方程的實數根與對應的二次函數y=ax+bx+c的關系。內容安排看似簡單，實際卻內涵豐富，需要教師大力挖掘，方能使學生充分掌握，并從中深切體會到其中數學思想與方法運用。怎樣才能使學生更好的學好知識領會思想呢？我將從以下幾個方面對本節教學進行探討。

（1）理解概念，抓住實質

使一元二次方程兩邊相等的未知數的值是一元二次方程根，使一元二次不等式成立的未知數的所有的值是一元二次不等式的解集；利用根的判別式可判斷出一元二次方程根的情況，當△=b-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根，當△=b-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根，當△=b-4ac<0時，方程沒有實數根；拋物線與x軸有三種位置關系，即整個拋物線與x軸沒有交點，與x軸有一個交點，與x軸有兩個交點；拋物線位于x軸上方對應的函數值大于0，拋物線位于x軸下方對應的函數值小于0，拋物線與x軸相交意味著函數值等于0。教學中對這些知識點需要做適當的復習，只有這些基本知識學生理解透了，才容易把握二者的關系。

（2）類比一次函數與一元一次方程關系攻破難點

類比一次函數與x軸交點的橫坐標就是對應一元一次方程的解，那么拋物線與x軸交點的橫坐標就是對應一元二次方程的解，由于拋物線與x軸可能會有兩個交點、一個交點或沒有交點，那么對應一元二次方程相應的就有兩個不相等的實數根、兩個相等的實數根或者沒有解；類比一次函數位于x軸上方則對應的一元一次不等式大于0，自變量的取值范圍就是對應的一元一次不等式的解集，那么拋物線位于x軸上方對應的一元二次不等式大于0，自變量的取值范圍就是對應的一元二次不等式的解集，其余類推。類比用一次函數的圖象求解一元一次方程的近似解理解用二次函數圖象求解一元二次方程的近似解，等等。

二、借助二次函數的圖象與性質銜接數形結合思想

對二次函數圖象，在初中主要以描點法畫出其“精確”圖象，但是這種做法缺乏“參數意識”，即系數與圖象特征的聯系，就是要明確二次函數y=ax+bx+c中確定圖象開口大小及方向的參數是什么？以及確定圖象位置的參數是什么？學生還要清楚的知道二次函數y=ax+bx+c的圖象可以怎樣快速的畫出，并要理解完成這種過程的依據。對于此過程教師可以用幾何畫板向學生展示，使學生可以從直觀感受上升到理論認知。比如，圖象與x軸的交點情況，定義域有限制的圖象畫法與應用，圖象隨著參數怎么改變等，這些都是如何將初中二次函數過渡到高中的根本。

例1.若函數 的定義域為R，求實數a的取值范圍

對于該題， 鑒于學生對圖象畫法的熟悉即可輕而易舉解決，如果沒有對二次函數圖象的“升級”認知過程，自然解題方法就難以確定了。

三、借助二次函數的單調性與最值銜接分類討論思想

教材是以y=x為對象來學習函數的單調性的。學生從其圖象的直觀判斷就很容易求出某一函數的最值，但教學中往往忽略了讓學生對二次函數y=ax+bx+c在區間（-∞，-]及[-，+∞）上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，特別是結合函數圖象的直觀性，利用單調性解釋函數的最值的意義。

例2.已知函數 ，求f（x）在[0，m]上的最小值。

分析：向這種含有參數又與二次函數的圖象和單調性有關的問題就要考察學生有沒有深入地了解二次函數的單調性了。讓學生獨立完成后，并說說理由，今后才可能靈活地運用圖象與二次函數有關的一些數學問題。

四、借助判別式和根與系數關系銜接函數與不等式思想

因一元二次方程的根與系數關系在初中新課標中要求不高，常被淡化，但高中數學學習中卻經常用到。若不熟練一元二次方程的根與系數關系，這對學生來說學習高中數學就是難上加難了。所以有必要對此作進一步的認識和學習，同時利用二次函數根的個數以及根與系數關系來解決一類幾何問題就輕而易舉了。這樣一來引導學生進一步理解用代數方法解決幾何問題的思想，從而使學生對二次函數的認識有一個升華。

縱觀整個高中數學內容，二次函數問題的綜合性強，因為它與實踐階段的很多知識都可以有機地結合起來。根據我的實習經驗和對教材的研讀發現它可以與一次函數、反比例函數整合出新的問題，也可以與幾何中的圓、三角形、四邊形等加以整合，還可以與一元二次方程等知識聯系起來，一道題也可能包含以上所有知識。所以，在教學過程中就要求教師有意識地參透這方面的思想。提高二次函數綜合問題的解題能力、解題技巧是一個真正的教學難點，只要學生能夠把這方面的知識真正掌握了，并且能夠做到靈活熟練地運用起來，這將對整個高中數學學習提供強有力的武器。

總之，從思維發展特征看，初中學生正處在以形象思維為主，逐步向經驗型的抽象思維過度階段，而高中學生處于以經驗型為主的抽象思維想理論抽象思維過渡階段。通過對二次函數的深入學習使學生認識到同樣的二次函數問題，到了高中就必須從更深層次、更廣角度，以更嚴密的推理、更靈活的方法去分析、解決。

【參考文獻】

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