何懼白璧微瑕

丁毓琪

1 問題背景

在圓錐曲線問題中，“點差法”即代點相減法，對于解決中點弦方程、弦中點軌跡方程以及對稱問題等方面都非常有效，堪稱利器[1，2].然而，“點差法”有時卻會失效，導致錯誤的答案[3].以筆者所在學校的高二數學月考題為例：

例1 已知直線l經過定點（0，1），被雙曲線x2-y24=1所截得的弦的中點軌跡方程是 .

大部分學生由“點差法”可求出軌跡方程，結果是4x2-y2+y=0，但正確答案是4x2-y2+y=0，y∈（-∞，-4）∪[1，+∞）.標準答案給出的做法是聯立直線與雙曲線法求方程，利用判別式判斷直線是否與雙曲線有兩個交點，再消除參數獲得結果.然而，此種做法的計算過程相當繁瑣，并且消去參數并不容易.“點差法”求解軌跡方程很方便，但卻無法得出正確的取值范圍.從而，學生對使用這種方法心存恐懼，讓如此有效的方法淪為雞肋.通過查閱文獻，發現雖然有關于改進“點差法”的研究[4]，但是給出的結果對此類“過定點”問題卻無能為力.因此，在本文中，筆者試圖對“點差法”進行詳細的探索以及有效的改進，尤其是討論了“過定點”問題，使其能夠更廣泛應用.

2 “點差法”初探

以本題為例，大部分學生可以通過“點差法”得出下面的結果.