感受數學的對稱美，揭開高考數學的神秘面紗

李蕾

數學中的美無處不在，優美且和諧的黃金分割、神奇且神秘的函數、美麗且誘人的幾何圖形，數學處處蘊含著豐富而又純凈的美.古往今來，“對稱”一直是人們所追求的，而這種美在數學中也表現的淋漓盡致.下面我們就通過2017年江蘇高考數學解析幾何題的對稱解法去感受這種美.感受之余層層推進，揭開這種美的本質根源.

1 直觀對稱，數學之美

圖1例題 （2017年江蘇17）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1、F2，離心率為12，兩準線之間的距離為8，點P在橢圓E上，且位于第一象限.過點F1作直線PF1的垂線l1，過點F2作直線PF2的垂線l2.

（1） 求橢圓E的方程；

（2） 若直線l1、l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標.

對于命題組提供的答案此處不作具體介紹.下面筆者利用圖形的對稱性給出如下分析：

第（1）問易得橢圓E：x24+y23=1（過程略）.

對于第（2）問，因為PF2⊥QF2，由圓的性質可知：點F1，F2在以PQ為直徑的圓上.結合圓和橢圓的對稱性可知，P，Q只可能出現以下兩種情況：

圖2第①種情形：P，Q在x軸的上方（如圖2所示）.

由圓和橢圓的對稱性可知，P，Q應該關于y軸對稱，因此可設P（x，y），則Q（-x，y）.因為PF2⊥QF2，所以yx-1·y-x-1=-1，化簡得：y2=x2-1.又點P在橢圓上，所以x24+y23=1，聯立解得x=477，

y=377. 所以此時點P坐標為（477，377）.

第②種情形：P，Q在x軸的異側（如圖3所示） .

圖3由圓和橢圓的對稱性可知，P，Q應該關于原點對稱，因此可設P（x，y），則Q（-x，-y），因為PF2⊥QF2，所以yx-1·-y-x-1=-1，化簡得：y2=1-x2.又點P在橢圓上，所以x24+y23=1，所以x24+1-x23=1，化簡得：x2=-8，方程無解.

綜合①②可知滿足題意的點P有且只有（477，377）一個，如果去掉象限限制，由對稱性可知有四個點滿足.

2 反思探究，層層推進

反思1 對于第②種P，Q在x軸的異側的情形，是否所有的橢圓都不存在這樣的點P滿足題意呢？……