微分中值定理在考研試題中的應用

李欣欣++李變++楊曉春

【摘要】微分中值定理的地位非常重要，本文針對大連海事大學近十年的考研試題，討論了微分中值定理的題型及每種題型的求解方法和注意事項，分析得出大連海事大學考研試題在微分中值定理方面的出題規律.

【關鍵詞】中值定理；應用；考研試題；大連海事

一、引言

人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之時就開始了，它經歷了從特殊到一般、從直觀到抽象、從分散到系統，隨著不斷的發展，它的應用也日趨重要.現在許多高校理工類的專業中微分中值定理一直都是學習的重點和難點，同時它也是考研中的必考知識點.由于微分中值定理自身的特點造成了其“難學難懂，更難應用”的事實，所以為了方便學弟學妹們復習，本文就大連海事大學近十年的研究生數學分析試題進行剖析.本文的主要工作是對真題進行歸類分析，總結出一些做題規律和解題方法，并對大連海事大學考研的出題方向進行預測，使想報考大連海事大學研究生的同學可以有的放矢地進行復習，在更短的時間內更好地掌握這個知識點.

二、中值定理

微分中值定理建立了函數與導數之間的關系，它包括羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，定理的具體內容如下：

上題使用壓縮數列法去證{xn}收斂，需要在xn+1-xn與xn-xn-1之間建立一種聯系，而通過計算得到了導數的范圍，所以想到要用拉格朗日定理進行變形，使其得到想要的結果.

（五）研究函數性態

研究函數的一致連續性和單調性等函數性態，我們可以對函數用微分中值定理進行變形，使它能建立函數增量、自變量與導數之間的關系，進而求解.

例5（2005年第四題）設函數f（x）在[1，+∞）上可導，且 limx→∞f′（x）=+∞，證明f（x）在[1，+∞）上非一致連續.

分析本題用非一致連續的定義去證明.題中已知f′（x）的極限，由極限的定義可以得出f′（x）的范圍，再利用拉格朗日定理，即可證明結論.

四、結論

研究了近十年的大連海事大學考研試題，了解到基本每年都會對微分中值定理進行考查，所以微分中值定理在試題中占有非常重要的地位.出題的類型從前幾年的單純的定理證明，逐漸轉變到對定理應用的綜合方面的考查，如，用微分中值定理的知識去求函數極限、證明等式、討論斂散性、研究函數性態、討論根的存在性、證明不等式等等.

由上面的五道歷年真題可以看出，有四道是對拉格朗日定理的考查，只有一道考的是羅爾定理的知識.因此，我們不難推斷出拉格朗日定理是微分中值定理考查的重點，所以考生在將來復習的時候一定要注重對拉格朗日定理的復習，要掌握其出題方式，多練習、多總結，才能得心應手，取得一個好成績.

【參考文獻】

[1]孫學敏.微分中值定理的應用[J].數學教學研究，2009，28（10）：61-63.

[2]錢吉林，等.數學分析題解精粹[M].武漢：湖北長江出版集團，2009.