例談裂項相消法的創新運用

郎建林

[摘 要] 拓展裂項相消法的運用范圍，引導學生運用裂項相消法證明等差、等比數列的前n項和公式，解決數列求和中的一些基本問題.

[關鍵詞] 裂項；創新；運用；舉例

裂項相消法是數列求和中的一種重要方法，但教材和流行資料中僅在一些典型題目中運用. 筆者抓住裂項相消法的本質特征，嘗試用這種方法解決數列求和中的一些基本問題，發現了裂項相消法創新運用的一些例子，現整理如下：

例1：已知數列{an}的通項an=a1+（n-1）d，求證：數列{an}的前n項和Sn=na1+ d.

證明：因為an=a1+（n-1）d=a1+ [（n-1）n-（n-2）（n-1）]，所以Sn=a1+a3+a3+…+an=na1+ [（0-0）+（1×2-0）+（2×3-1×2）+…+（n-1）n-（n-2）（n-1）]=na1+ ·[（n-1）n-0]=na1+ d.

點評：用裂項相消法證明等差數列的前n項和公式，簡潔明快，學生易于理解和掌握. 引導學生發現了一種新的證明方法，可培養學生的創新意識.

例2：已知數列{an}的通項an=a1qn-1（q≠0且q≠1），求證：數列{an}的前n項和Sn= .

證明：因為an=a1qn-1= （qn-1-qn），

所以Sn=a1+a2+a3+…+an= [（1-q）+（q-q2）+…+（qn-1-qn）]= .

點評：用裂項相消法證明等比數列的前n項和公式，簡潔流暢. 這不僅是證明方法的創新，還使學生體驗到指數型通項的列項方法和技巧.

例3：已知數列{an}的通項an= ，求數列{an}的前n項和Sn.

解：因為an= =2 - ，

所以Sn=a1+a2+a3+…+an=2 - + - +…+ - =2 - = .

點評：這種題型過去只能用錯位相減法求和，現在用裂項相消法求和. 這不僅是一種創新，還能減少計算出錯的環節，消除求和過程中的“安全隱患”.

例4：求證：12+22+32+…+n2= .

證明：因為n2=n（n+1）-n== [n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]-n，

所以12+22+32+…+n2= ·{（1×2×3-0） +（2×3×4-1×2×3）+…+[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]}-（1+2+…+n）= n（n+1）（n+2）- n（n+1）= .

點評：這個公式在數列求和中就會用到，過去只能用“欠賬”的方式讓學生先承認這個公式；待學完數學歸納法后再證明. 現在用裂項相消法就能解決這個問題，裂項的方法與例1中類似，采用升冪的方式裂項，用這種方法裂項還能證明公式13+23+33+…+n3= .

例5：已知數列{an}的通項an= ，求數列{an}的前n項和Sn.

解：因為an= = =tan（n+1）-tann，

所以Sn=a1+a3+a3+…+an=（tan2-tan1）+（tan3-tan2）+…+[tan（n+1）-tann]=tan（n+1）-tan1.

點評：將裂項相消法用到通項為三角函數型的求和問題中，進一步拓展了這種方法的運用范圍，有利于拓展學生的思維空間. 用三角公式裂項還能證明tan1°tan2°+tan2°tan3°+…+tan44°tan45°=cot1°-45和 + +…+ =cotx-cot2nx等一系列三角恒等式.

波利亞強調：“把習題看作是精密研究的對象，而把解答習題看作是設計和發明的目標”. 因此在探究習題的解答過程中，我們不能滿足已有的方法，要引導學生推陳出新，不斷創新. 這不僅能激發學生的學習興趣，還能培養學生的創新意識和創新能力.