例談處理課堂教學(xué)中形式化知識的方式

顧婷

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性一直是高中數(shù)學(xué)教師們討論的熱門話題，在傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式中以知識、課堂講授和教師作用為中心，而恰恰忽視了學(xué)生本身的社會(huì)活動(dòng)的重要性. 因此，為了使學(xué)生獲得終生難忘的知識，牢固地掌握技能，教學(xué)時(shí)不能僅以聽、讀等少數(shù)手段去完成，更應(yīng)以多元化的教學(xué)方式加以滲透，這尤其對于形式化味道較重的高中數(shù)學(xué)而言.

[關(guān)鍵詞] 課堂教學(xué)；有效性；體驗(yàn)式；形式化；特殊化；操作性

近期有幸觀摩了一節(jié)語文的公開課，其中一位教師將文學(xué)作品李商隱的“絕唱”《錦瑟》，李詩一直以晦澀難懂、意義深?yuàn)W為特點(diǎn)，教師采用了一種極為樸素的手段首先讓學(xué)生去感受這首詩的基本含義，其分組讓學(xué)生大聲朗讀，進(jìn)而采用各種方式（如女生讀、男生讀、小組讀、個(gè)別讀、朗讀誦讀等等），在教師引導(dǎo)下的合理閱讀，學(xué)生越讀越有味道，似乎融入了這首詩中. 這節(jié)課看似在浪費(fèi)時(shí)間，實(shí)則用具體形象化的手段以“退”為“進(jìn)”，引導(dǎo)學(xué)生回歸到自己的知識能力基礎(chǔ)上，使學(xué)生在此基礎(chǔ)上挖掘自身知識和思維能力，循序漸進(jìn)，圓滿地完成教師預(yù)定的教學(xué)任務(wù).

筆者由此聯(lián)想我們的數(shù)學(xué)課堂：高中數(shù)學(xué)知識往往形式化味道漸濃，學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢，不敢出聲，以至于數(shù)學(xué)課堂上氣氛十分沉悶，所以數(shù)學(xué)教師想方設(shè)法通過互動(dòng)來體現(xiàn)學(xué)生的參與性. 目前探究教學(xué)已越來越被一線教師所接受，并不斷地被教師實(shí)踐著、思考著. 教育專家對探究教學(xué)的含義、功能、具體方法和思路等從理論層面上進(jìn)行了多層次的評述和研討，如何將形式化的數(shù)學(xué)知識更好的傳授成為課堂教學(xué)著力需要突破的關(guān)鍵.

特殊化方式下的形式化處理

高中數(shù)學(xué)知識有些概念、性質(zhì)、定理較難處理，原因在于較為抽象、不夠具體.從學(xué)生認(rèn)知角度來說，中學(xué)生的認(rèn)知還尚不能達(dá)到非常形式化要求下的運(yùn)算、結(jié)論. 對于這些知識的處理，教師要著力從學(xué)生認(rèn)知的心理層面去設(shè)計(jì)教學(xué)，從認(rèn)知規(guī)律來說，特殊化的方式比較有利于形式化知識的處理.

案例1：《點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)》教學(xué)片斷

在教學(xué)中，如果我們直接讓學(xué)生去探究點(diǎn)到直線的距離公式，那么等待很多學(xué)生的將是失敗的體驗(yàn)，如果照本宣讀則無法展現(xiàn)為什么要構(gòu)造直角三角形這最需學(xué)生探索的過程，不利于學(xué)生完整地理解公式的推導(dǎo)和掌握與之相應(yīng)的豐富的數(shù)學(xué)思想方法. 有的教師為了趕教學(xué)進(jìn)度，推導(dǎo)過程一筆帶過，輔以與這部分內(nèi)容相關(guān)的例題，讓學(xué)生通過做題進(jìn)行新知識的鞏固，導(dǎo)致課堂上給學(xué)生帶去的不是享受、成功的體驗(yàn)，而是單調(diào)、無趣和一知半解.針對這些不足之處，筆者認(rèn)為應(yīng)該以“退”為“進(jìn)”根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，給學(xué)生鋪臺(tái)階，創(chuàng)設(shè)學(xué)生欲知、欲究、欲得、欲進(jìn)的各種良好的數(shù)學(xué)問題情境，激發(fā)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐和主動(dòng)探索欲望.在教學(xué)中我們可以這樣設(shè)計(jì)一個(gè)環(huán)節(jié)：讓學(xué)生自主探究點(diǎn)P（-1，2）到直線l：2x+y-10=0的距離PQ. 給學(xué)生充分的時(shí)間，筆者只是在課堂上巡視，和個(gè)別學(xué)生交流，給予一些必要的引導(dǎo).此時(shí)學(xué)生就會(huì)自覺開動(dòng)腦筋尋找多種方法.

學(xué)生1：如圖1，過P作直線l的垂線，垂足為Q，得直線l與PQ的交點(diǎn)Q（3，4），利用兩點(diǎn)間的距離公式得PQ=2 .

學(xué)生2：如圖2，取直線l與x軸的交點(diǎn)A（5，0）連PA，計(jì)算PA=2 ，再利用兩角差的正切公式算得∠PAQ=45°，所以PQ=PAsin∠PAQ=2 .

學(xué)生3：如圖3，在直線l上任取點(diǎn)Q（x，y），所以PQ= .

因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線2x+y-10=0上，所以y=10-2x，所以PQ= ，

所以當(dāng)x=3時(shí)PQmin=2 . 把點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的最短距離即“垂線段最短”.

學(xué)生4：如圖4，過點(diǎn)P作x軸的平行線PR交直線l于R（4，2），作y軸的平行線PT交直線l于點(diǎn)T（-1，12），再利用PQ·RT=PT·PR，得PQ=2 .

說明：有了特殊情況的探索嘗試，那么在一般情況的推導(dǎo)中，學(xué)生將更有同類問題的處理經(jīng)驗(yàn)與技巧，為問題的一般化的情況做出了合理的鋪墊. 因此在課堂教學(xué)中，要有意識、有方法地讓學(xué)生真正動(dòng)手實(shí)踐起來，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中去思維、去體驗(yàn)，在動(dòng)手實(shí)踐中得到全面發(fā)展，從而培養(yǎng)了學(xué)生濃厚的數(shù)學(xué)興趣和良好的學(xué)習(xí)品質(zhì).

操作性手段下的形式化處理

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對于學(xué)生是否能夠注重動(dòng)手實(shí)踐提出了很高的要求，從現(xiàn)階段數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐來看，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)依舊停留在傳統(tǒng)的問題訓(xùn)練、思維考查模式，對于數(shù)學(xué)具備的操作性未有效涉及.將來學(xué)習(xí)愈來愈多的要求學(xué)生必須具備動(dòng)手探索和建構(gòu)的能力，因此對于形式化知識的處理也可以采用一定的操作性手段去嘗試和探索.

案例2：《線面垂直的判定定理》操作性片斷

實(shí)例：在立體幾何的教學(xué)中，學(xué)生普遍反映由于空間想象力不夠?qū)е聦W(xué)起來比較困難. 如在《線面垂直的判定定理》這節(jié)課中，定義中“任一條直線”為什么可以用“兩條相交直線”代替，這種用“有限”代替“無限”的過程會(huì)導(dǎo)致學(xué)生理解上的思維障礙. 怎樣讓學(xué)生切身體驗(yàn)到定理的生成過程？在教學(xué)上可以這樣安排幾個(gè)流程.

流程一：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

在日常生活中，學(xué)生對線面垂直的感性認(rèn)識是很多的，可以讓學(xué)生觀察實(shí)物或者看圖片，如旗桿和地面、屋梁與墻面等都給我們以線面垂直的印象，但如何判定線面垂直呢？

流程二：操作感知，形成猜想

引導(dǎo)每位學(xué)生嘗試“折紙”實(shí)驗(yàn)，在三角形ABC中過頂點(diǎn)A翻折紙片得到折痕AD，將翻折后的紙片放置在水平桌面上請學(xué)生觀察：折痕AD與桌面垂直嗎？（圖5）

如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直呢？在動(dòng)手操作的過程中，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：只有沿著邊BC上的高AD翻折時(shí)，折痕AD才能直立在桌面上，即AD與桌面垂直. （圖6）

思考：這是為什么呢？原來在翻折前后AD⊥BC這一垂直關(guān)系沒有改變，即在圖中有AD⊥BD且AD⊥CD. 這樣看來，可以得到以下猜想：“若AD與桌面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則AD與桌面垂直.”

思考：AD與桌面內(nèi)的一條直線垂直，能保證AD與桌面垂直嗎？讓學(xué)生再動(dòng)手一試，學(xué)生將翻折后的紙片展平，并讓它豎起來，發(fā)現(xiàn)盡管AD⊥BC，但紙張并不能穩(wěn)穩(wěn)地直立在桌面上，看來AD至少要與桌面內(nèi)的兩條相交直線垂直，才有AD與桌面垂直.

流程三：驗(yàn)證猜想，歸納結(jié)論（省略）

說明：可以看到在學(xué)生自己的操作體驗(yàn)中，一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)定理直觀地展示在學(xué)生面前. 又如在學(xué)習(xí)球的體積公式時(shí)，大多數(shù)教師直接給出公式讓學(xué)生記住，對于公式的推導(dǎo)只字不提，最多讓學(xué)生自己去看課本第32頁的閱讀材料. 筆者做過調(diào)查，課后只有一少部分的學(xué)生會(huì)去看該推導(dǎo)過程，大部學(xué)生一點(diǎn)興趣都沒有. 而教師認(rèn)為只要記住公式能做題就可以了，所以講了公式后就開始讓學(xué)生做題，把“新課”上成一節(jié)“習(xí)題課”，這種方式應(yīng)該從教師角度加以引導(dǎo)和改正. 當(dāng)然從形式化的角度而言，嚴(yán)密性還需加強(qiáng)，但是對于學(xué)習(xí)興趣而言，則大大獲得了提升，讓形式化知識的處理與學(xué)習(xí)興趣有了一個(gè)較好的融合，讓學(xué)生在“玩中學(xué)，做中思，演中悟”.

總之，盡管高中數(shù)學(xué)形式化味道愈來愈濃，但是對于形式化知識的處理卻是教師駕馭的. 從當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來看，筆者以為恰當(dāng)?shù)男问交潜容^合適的，也符合西南大學(xué)陳重穆等教授提出的教學(xué)適度形式化的基調(diào)，這既符合學(xué)生認(rèn)知心理，也達(dá)到了教學(xué)所需要達(dá)到的效果.本文僅以兩例描述，不足之處請讀者批評指正.