含根式遞推數列的求解策略

廣東省梅州市梅縣區高級中學 (514011) 梁 奮

含根式遞推數列的求解策略

廣東省梅州市梅縣區高級中學 (514011) 梁 奮

在各級各類的數學競賽中經常出現含有根式的遞推數列的試題，這類題往往結構復雜，方法多變而成為競賽的難點，本文對此類題作一些探究和分析.

1.配方

2.換元

例2 (2009全國高中數學聯賽山東預賽)

評注:本題表面上看和例1差不多，但仔細觀察后發現利用配方法不湊效，對根式進行整體換元，問題便化為一個等差數列問題，也就迎刃而解.

3 平方

(1)證明:數列{an}是正整數數列;

(2)是否存在m∈N*,使得2015|am,并說明理由.

(2)略

評注：處理根式的最直接的方式就是平方，例3、例4很好的體現了這一點.去除根號后，可用因式分解或韋達定理化為二階常系數線性遞推式，進而求解.

4 取對數

評注:運用取對數的方法，可將含有指數式或根式的遞推式化為一階線性遞推式.

5.變形

所以通項公式

6 先猜后證

A.1B.2C.5D.6

證明：①當n=1時，a1=5×21-1+1=6，命題成立;

評注:通過猜想歸納得出數列通項公式，然后用數學歸納法證明，是解決遞推數列問題的一種常用手法，也是探究新知的一種重要手段.

通過以上幾例，我們發現含根式遞推數列的求解，關鍵在于通過恰當的數學變換，使問題轉化為我們熟悉的數列問題.因此，在探究問題的過程中，我們要認真細致觀察，大膽探索，并找出恰當的方法，使問題得到圓滿的解決.