一次說題活動的全紀錄

浙江省金華市第六中學 (321000) 虞 懿

一次說題活動的全紀錄

浙江省金華市第六中學 (321000) 虞 懿

隨著新課程改革的深入，數學教研活動在內容和方式上也在不斷地發生變化．由原來的“課堂教學”到“說課”，再到目前熱行的“說題”活動，將教研內容范圍逐步縮小，提高了課堂教學的針對性和有效性，體現了以小見大、去虛務實的教研理念，能更好地反映教師的基本功和提升青年教師專業水平．近期，筆者有幸參加了由市教研室組織的“說題”教研活動，受益匪淺，現將本次說題記錄如下，供同行批評指正．

(2016年江蘇高考第14題)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是 .

一、議審題揚帆起航

本題條件有兩個：條件一是“銳角三角形ABC”；條件二是“sinA=2sinBsinC”，本題目標是“求tanAtanBtanC的最小值”.條件一的目的是什么？“銳角”大概是要保證tanAtanBtanC為正；“三角形ABC”能想到哪些？條件二怎么用？觀察名稱是三個角的正弦值，那么在三角形ABC中，任意一個角的正弦值等于另外兩個角的和的正弦值，這是可以想到的.再來觀察目標，如何求tanAtanBtanC的最小值？觀察目標中角有三個，不是我們熟悉的一元函數，如何減元？而名稱是三角形的正切值，三個角的正切值之間有什么聯系？又如何實施從條件二中的正弦過渡到目標中的正切？只有啟發學生把這些問題想清楚了，才能激發出學生解題的潛質.

二、探題源追本尋根

教材是知識的根本，教材是問題的源泉，教材也是高考試題的根源.面對經典的教材和浩瀚的資料，筆者認為，教材是已知世界，資料是未知世界.目前很多學生只喜歡資料，對教材卻不是很熟悉，甚至很多高三學生連高一的教材都找不到了.筆者認為可由教師直接投影教材展現，這樣既節省時間，又能引起學生對教材的重視.

題源1 蘇教版《數學4》(必修)第116頁的例4：

在斜三角形ABC中，求證：tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.

不難看出，上述高考題的結論與這道例題的結論有相似之處，是這道例題的變式.

題源2 人教A版《數學4》(必修)第146頁的復習參考題A組4(1):

證明：tanα+tanβ=tan(α+β)-tanαtanβtan(α+β)．

課本中的例習題是眾多教材編寫者智慧的結晶，每年的高考試題中都有一些以課本上的例習題為“根”而生成的．對這些題目的條件和結論加強或削弱、延伸或拓展，可真正達到對例習題的使用“源于課本，又高于課本”．

三、覓方法多維解析

學生解題中遇到的最大困難是條件與結論之間如何溝通，對于本題實質上就是正弦與正切之間如何轉化．由條件想結論，將正弦化為正切，肯定是兩邊同除以余弦；由結論想條件，直接化正切為正弦即可．

解法1：由sinA=sin(B+C)=2sinBsinC得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，兩邊同時除以cosBcosC得tanB+tanC=2tanBtanC，設tanB+tanC=2tanBtanC=m，ΔABC為銳角三角形，則tanBtanC>1,m>2．

評注：解題難點在于由“tanAtanBtanC”的結構特點，明確“sinA=2sinBsinC”變形的目標和方向，進而推出“tanB+tanC=2tanBtanC”．倘若分析能力不足，那么可能不能明確變形方向，陷入“思維困境”．

解法2：同解法1可得tanB+tanC=2tanBtanC①,在斜三角形ΔABC中，有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC．

評注：本解法通過引入m進行換元，然后用代入法消元，將問題轉化為求函數的最小值，最后借助均值不等式求出最小值．

評注：本解法利用基本不等式求范圍，但要熟悉結論“在斜三角形ΔABC中，有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.”

又(sinBsinC-cosBcosC)cosBcosC

評注：本解法頗為巧妙，對學生提出了較高的思維要求，需要具備較強的洞察力并能熟練運用基本不等式．

四、說反思歸納感悟

數學思想方法和一些思維策略總是蘊含于學習活動之中的，學生獲得數學思想方法的途徑總的來說有兩種，一是來自教師有意識的滲透和訓練；二是來自學生自己在解題反思過程中的領悟．在解題后的“反思”過程中，通過反思與整合，把相關知識和方法提煉出來而形成的數學思想方法，學生才會有更深的體會，也更易于接受．也就是說，學生在反思過程中，反思自己是怎樣發現和解決問題的，是如何找到突破口的，運用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，其中又走過了哪些彎路，有哪些容易發生(或發生過)的錯誤，原因何在，該記住哪些經驗教訓等．在反思中認識和掌握數學思想方法，并用這種方法來指導自己進行數學學習與探究，從而對數學的理解實現由量變到質變的飛躍．

五、品思維賞析試題

從試題考查的知識點角度分析僅僅是復習了知識，如果從解題方法看，本題又是一個多元函數最值問題．那么牽及多元函數最值的一般解題思想是什么？如果不能直接用基本不等式或線性規劃求解，可以考慮通過換元、消元的思想來達到減元，直至化為一元函數，以達到求最值的目的．解題的本質就是利用化歸與轉化的思想，這樣的例子不勝枚舉，可參見下面的試題拓展．教師引導學生多維解析的同時，可將解題過程中涉及的思想方法用彩色粉筆寫在黑板的醒目位置，如化歸與轉化、消元法、換元法、基本不等式法等等．這樣做的目的是授之以漁，而不是僅僅教給學生解題的過程．

六、談變式引申拓展

解題是一種創造性活動，作為數學的學習，積累一定的解題經驗對以后解題過程中快速提取信息應該是幫助很大的，而變式拓展則是解題經驗自覺積累的有效途徑．如在完成上面的高考問題探究后，若我們能從結論或條件的適當變化中編擬出一些問題，就可以鞏固方法，辨析異同，提升能力．

變式2 在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBcosC，則tanAtanBtanC的最小值是 .

變式3 已知三角形ABC中，若sinA+2sinBcosC=0，則tanA的最小值是 .

講評試題時，教師不要就題論題、孤立地逐題講題，要透過題中的表面現象，抓住問題的本質特征進行開放式、發散式講解．

七、論啟示服務教學

1．重視教材，用好教材

在課堂教學中經常看到這樣一種現象：教師忽視對教材內容中知識的本質特征與內在聯系的深入鉆研，在課堂上只用很少的時間講授教科書中的主要知識點，而將大量的時間用于做題，課后布置大量作業讓學生反復做，本意是想彌補學生知識理解的不足，結果事倍功半，學生負擔過重，苦不堪言．為了改變這種忽視教材、脫離教材的現狀，減輕學生過重的學習負擔，近年來高考數學試題加大了對教材例習題的改編力度，以期引導師生重視教材，用好教材，達到事半功倍的教學效果．教師只有深入挖掘教材，透徹理解教材，明確教材的編寫意圖，才能做到基于教材、超越教材，創造性地設計出符合學生學習規律、體現數學學科特點的教學過程，讓學生在經歷知識發生、發展的過程中學習數學知識，感悟數學思想，積累數學活動經驗，逐漸由學會數學向會學數學轉變．只有這樣，學生在面臨新的數學情境、新的數學問題時，才能從容淡定、應對自如．

2．把握核心，重視思想

數學核心內容、思想方法是高中數學學科體系的靈魂．在高中階段，數學學科涉及的知識點匯成了數學結構系統的兩條“河流”．一條是由具體的知識點構成的易于被發現的“明河流”，數學核心內容是“明河流”的主要交匯點，它是構成高中數學學科的“骨架”；另一條是由數學思想方法構成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構成高中數學學科的“血脈”和靈魂．有了數學思想作靈魂，各種具體的數學知識點才不再孤立、零散．因為數學思想能將“游離”狀態的知識點凝結成優化的知識結構，有了它，數學概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，組成一個有機整體．教師在教學中只有抓住數學核心內容、思想方法這一主線，才能高屋建瓴，取得更大的教學效益．學生只有真正把握了數學核心內容和重要的數學思想方法，才能跳出題海，走出就題論題的小路，走上以題論“法”、以題論“道”的大道．

總之，本次說題活動的嘗試給教師專業化素養發展帶來了一個全新的視角，筆者認為我們應該加強高考試題的研究，將有價值的數學問題通過說題的教學形式予以展示和交流，這樣既發揮了優秀試題的典型性，也大大提高了教師對有價值試題的研究能力，使得教學水平得到進一步的提升．